A resposta ao impulso de um sistema é
, e em sua entrada está aplicado o sinal
. Determine o espectro do sinal de saída.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre sistemas lineares e invariantes no tempo. A gente tem a resposta ao impulso do sistema, que é
, onde
é a função degrau. A entrada do sistema é
. Precisamos determinar o espectro do sinal de saída.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o espectro do sinal de saída pode ser encontrado multiplicando os espectros do sinal de entrada e da resposta ao impulso. Isso porque no domínio da frequência, a convolução no tempo vira multiplicação.
Passo 3
Então, vamos calcular a Transformada de Fourier da entrada
. A Transformada de Fourier de
é
. Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a Transformada de Fourier da resposta ao impulso
. Sabemos que se
é a transformada de
, então a transformada de
é
.
Primeiro, encontramos
para
:
Agora, aplicando a propriedade da multiplicação por
:
Passo 5
Agora que temos as transformadas da entrada e da resposta ao impulso, multiplicamos elas para encontrar o espectro da saída
:
Resposta
O espectro do sinal de saída é: