A resposta ao impulso de um sistema é h(t)=t e^-t u(t), e em sua entrada está aplicado o sinal fi(t)=e^-t u(t). Determine o espectro do sinal de saída.
R: 1(1+j omega)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre sistemas lineares e invariantes no tempo. A gente tem a resposta ao impulso do sistema, que é h(t) = t e^-t u(t), onde u(t) é a função degrau. A entrada do sistema é fi(t) = e^-t u(t). Precisamos determinar o espectro do sinal de saída.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o espectro do sinal de saída pode ser encontrado multiplicando os espectros do sinal de entrada e da resposta ao impulso. Isso porque no domínio da frequência, a convolução no tempo vira multiplicação.

Passo 3

Então, vamos calcular a Transformada de Fourier da entrada fi(t) = e^-t u(t). A Transformada de Fourier de e^-a t u(t) é 1a + jomega. Aqui, a = 1, então:
Fi(jomega) = 11 + jomega

Passo 4

Agora, vamos calcular a Transformada de Fourier da resposta ao impulso h(t) = t e^-t u(t). Sabemos que se H(jomega) é a transformada de h(t), então a transformada de t h(t) é -j dH(jomega)domega.
Primeiro, encontramos H(jomega) para h(t) = e^-t u(t):
H(jomega) = 11 + jomega
Agora, aplicando a propriedade da multiplicação por t:
H(jomega) = 1(1 + jomega)^2

Passo 5

Agora que temos as transformadas da entrada e da resposta ao impulso, multiplicamos elas para encontrar o espectro da saída Y(jomega):
Y(jomega) = Fi(jomega) cdot H(jomega) = 11 + jomega cdot 1(1 + jomega)^2 = 1(1 + jomega)^3

Resposta

O espectro do sinal de saída é:
Y(jomega) = 1(1 + jomega)^3

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