Encontre a transforma de Fourier das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a transformada de Fourier da função $ f(t) = g(t) \cos(\omega_{o} t) $. Estamos lidando com o conteúdo de Transformadas de Fourier, especificamente com a transformação de funções que são o produto de uma função geral $ g(t) $ e uma função cossenoidal. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Fourier, como a propriedade de modulação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função $ f(t) $ é dada por:
Essa transformada nos permite representar a função no domínio da frequência, ou seja, em termos de suas componentes de frequência.
Passo 3
Agora, observe que nossa função $ f(t) = g(t) \cos(\omega_{o} t) $ é o produto de $ g(t) $ e $ \cos(\omega_{o} t) $. Para encontrar a transformada de Fourier dessa multiplicação, vamos usar a propriedade de modulação.
Passo 4
A propriedade de modulação diz que se você multiplicar uma função $ g(t) $ por um cosseno, a transformada de Fourier disso é a soma das transformadas de $ g(t) $ deslocadas em frequência pelos valores positivos e negativos da frequência do cosseno. Matematicamente:
Onde $ G(\omega) $ é a transformada de Fourier de $ g(t) $.
Passo 5
Então, aplicando essa propriedade à nossa função, temos que a transformada de Fourier de $ f(t) $ é:
Isso significa que a transformada de $ f(t) $ consiste nas transformadas de $ g(t) $ deslocadas para as frequências $ \omega_{o} $ e $ -\omega_{o} $, cada uma multiplicada por $ \frac{1}{2} $.
Resposta
A transformada de Fourier de $ f(t) = g(t) \cos(\omega_{o} t) $ é: