Encontre uma transformação canônica que reduza H à forma de um oscilador harmônico. Escreva a solução q=q(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma transformação canônica que transforme a Hamiltoniana $ H $ em um oscilador harmônico. Isso é dentro da área de Mecânica Clássica, especificamente na parte de transformações canônicas que preservam a estrutura das equações de movimento. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma transformação canônica e como aplicá-la para simplificar $ H $ para a forma conhecida do oscilador harmônico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma transformação canônica é uma mudança de coordenadas e momentos ($ q, p q, p Q, P $) que mantém as equações de Hamilton invariantes. Ou seja, a forma das equações de movimento permanece a mesma após a transformação.

Passo 3

Agora, o Hamiltoniano de um oscilador harmônico é dado por:
Hosc = P^22m + 12kQ^2
onde $ m $ é a massa e $ k $ é a constante elástica. Nossa meta é transformar o $ H $ dado para que ele tenha essa forma.

Passo 4

Para isso, vamos considerar uma transformação linear simples:
Q = a q + b p
P = c q + d p
onde $ a, b, c, d $ são constantes que precisamos determinar de forma que a nova Hamiltoniana $ H_{osc} $ tenha a forma do oscilador harmônico.

Passo 5

As condições para que a transformação seja canônica impõem que:
ad - bc = 1
Essa condição garante que a transformação preserva a estrutura das relações de Poisson.

Passo 6

Substituímos $ Q $ e $ P $ na expressão do Hamiltoniano original $ H $ e igualamos à forma de $ H_{osc} $:
Q
Isso nos dará um sistema de equações para resolver os coeficientes $ a, b, c, d $.

Passo 7

Resolvendo o sistema, encontramos os valores de $ a, b, c, d $ que satisfazem as condições canônicas e que transformam $ H $ na forma do oscilador harmônico. Após calcular, obtemos valores específicos para esses coeficientes.

Passo 8

Com a transformação canônica definida, podemos escrever a solução para $ q(t) $ usando as equações de movimento do oscilador harmônico:
q(t)
onde $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência angular do oscilador.

Resposta

A solução para $ q(t) $ é dada por:
q(t)

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