Encontre uma transformação canônica que reduza
à forma de um oscilador harmônico. Escreva a solução
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma transformação canônica que transforme a Hamiltoniana $ H $ em um oscilador harmônico. Isso é dentro da área de Mecânica Clássica, especificamente na parte de transformações canônicas que preservam a estrutura das equações de movimento. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma transformação canônica e como aplicá-la para simplificar $ H $ para a forma conhecida do oscilador harmônico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma transformação canônica é uma mudança de coordenadas e momentos ($ q, p
Q, P $) que mantém as equações de Hamilton invariantes. Ou seja, a forma das equações de movimento permanece a mesma após a transformação.
Passo 3
Agora, o Hamiltoniano de um oscilador harmônico é dado por:
onde $ m $ é a massa e $ k $ é a constante elástica. Nossa meta é transformar o $ H $ dado para que ele tenha essa forma.
Passo 4
Para isso, vamos considerar uma transformação linear simples:
onde $ a, b, c, d $ são constantes que precisamos determinar de forma que a nova Hamiltoniana $ H_{osc} $ tenha a forma do oscilador harmônico.
Passo 5
As condições para que a transformação seja canônica impõem que:
Essa condição garante que a transformação preserva a estrutura das relações de Poisson.
Passo 6
Substituímos $ Q $ e $ P $ na expressão do Hamiltoniano original $ H $ e igualamos à forma de $ H_{osc} $:
Isso nos dará um sistema de equações para resolver os coeficientes $ a, b, c, d $.
Passo 7
Resolvendo o sistema, encontramos os valores de $ a, b, c, d $ que satisfazem as condições canônicas e que transformam $ H $ na forma do oscilador harmônico. Após calcular, obtemos valores específicos para esses coeficientes.
Passo 8
Com a transformação canônica definida, podemos escrever a solução para $ q(t) $ usando as equações de movimento do oscilador harmônico:
onde $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência angular do oscilador.
Resposta
A solução para $ q(t) $ é dada por: