Encontre a transformação linear associada a matriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a transformação linear que está associada à matriz . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares e matrizes que as representam. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar uma matriz por um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que , onde é um vetor no domínio da transformação. No nosso caso, é um vetor em .
Passo 3
Vamos definir o vetor x = x1 x2 x3 x4 em como:
Agora, vamos multiplicar a matriz pelo vetor .
Passo 4
A multiplicação de uma matriz y = Ax = -2 & -1 & 0 & 1 -1 & 0 & 1 & 2 0 & 1 & 2 & 3 x1 x2 x3 x4 (de tamanho ) por um vetor (de tamanho ) resulta em um vetor em . Então:
Passo 5
Vamos calcular cada componente de y1 = (-2)x1 + (-1)x2 + 0x3 + 1x4 = -2x1 - x2 + x4 . Cada entrada de y2 = (-1)x1 + 0x2 + 1x3 + 2x4 = -x1 + x3 + 2x4 é a soma dos produtos das entradas correspondentes da linha de y3 = 0x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 = x2 + 2x3 + 3x4 com as entradas de .
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Resposta
Assim, a transformação linear T(x) = -2x1 - x2 + x4 -x1 + x3 + 2x4 x2 + 2x3 + 3x4 associada à matriz é: