Sabendo que T: R^n R^m é uma transformação linear cujo núcleo é dado por
ker(t)=(x, y, 0,0, ldots, 0) mid x, y in R
encontre a dimensão da imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear e nos dá o núcleo dessa transformação. Nosso objetivo é encontrar a dimensão da imagem de , que também chamamos de “rank” de .
Conteúdo envolvido: Transformações lineares, núcleo (kernel) e imagem (imagem/rank).
O que vamos precisar: A relação entre a dimensão do domínio, do núcleo e da imagem de uma transformação linear, conhecida pelo Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz:
dim(domínio) = dim(núc<=o) + dim(ima>=m) íú
Isso significa que a dimensão do espaço de partida ( ) é igual à soma da dimensão do núcleo de e da dimensão da imagem de .

Passo 3

No nosso caso, o espaço de partida é dim(R^n) = n , então:
Precisamos encontrar . Para isso, vamos primeiro encontrar ú.

Passo 4

O núcleo de ker(T) = (x, y, 0, 0, ldots, 0) mid x, y in R é dado por:
Isso significa que todos os vetores no núcleo têm apenas as duas primeiras coordenadas diferentes de zero, e o restante são zeros. Portanto, o núcleo é gerado por dois vetores independentes, por exemplo, e .

Passo 5

Assim, a dimensão do núcleo é 2, já que temos dois vetores que formam uma base para ele:
dim(ker(T)) = 2

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema do Núcleo e Imagem:
n = dim(ker(T)) + dim(ima>=m)
Substituindo os valores que temos:
n = 2 + dim(ima>=m)

Passo 7

Isolando dim(ima>=m) = n - 2 :

Resposta

A dimensão da imagem de é .

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