Verificar, em cada item, se é uma base para o espaço vetorial .
b) e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto é uma base para o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base: basicamente, um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que são linearmente independentes e geram todo o espaço. Como tem dimensão 4, nosso conjunto também precisa ter 4 elementos para ser uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as matrizes do conjunto de uma forma mais clara:
Para verificar se essas matrizes são linearmente independentes, vamos imaginar uma combinação linear delas que resulta na matriz zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da terceira equação, sabemos que a + b = 0 a + 2b = 0 .
Da quarta equação, temos (a + 2b) - (a + b) = 0 - 0 Rightarrow b = 0 , então .
Substituindo na segunda equação: .
Da primeira equação: .
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
E então, .
Passo 4
Chegamos a . Isso significa que a única combinação linear que resulta na matriz zero é a trivial, ou seja, o conjunto é linearmente independente.
Passo 5
Como tem 4 matrizes e tem dimensão 4, e já mostramos que é linearmente independente, ele também gera todo o espaço .
Resposta
Sim, o conjunto é uma base para o espaço vetorial .