Verificar, em cada item, se B é uma base para o espaço vetorial V.
b) B=(ll1 & 1 0 & 0),(ll2 & 1 0 & 0),(ll0 & 1 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 2) e V=M2(R)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto é uma base para o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base: basicamente, um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que são linearmente independentes e geram todo o espaço . Como tem dimensão 4, nosso conjunto também precisa ter 4 elementos para ser uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes do conjunto B = 1 & 1 0 & 0 , 2 & 1 0 & 0 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 0 0 & 2 de uma forma mais clara:
a 1 & 1 0 & 0 + b 2 & 1 0 & 0 + c 0 & 1 1 & 0 + d 0 & 0 0 & 2 = 0 & 0 0 & 0
Para verificar se essas matrizes são linearmente independentes, vamos imaginar uma combinação linear delas que resulta na matriz zero:
a + 2b = 0 (posição (1,1)) a + b + c = 0 (posição (1,2)) c = 0 (posição (2,1)) 2d = 0 (posição (2,2))
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
çãçãçãçã

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da terceira equação, sabemos que a + b = 0 a + 2b = 0 .
  2. Da quarta equação, temos (a + 2b) - (a + b) = 0 - 0 Rightarrow b = 0 , então .
  3. Substituindo na segunda equação: .
  4. Da primeira equação: .
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
E então, .

Passo 4

Chegamos a . Isso significa que a única combinação linear que resulta na matriz zero é a trivial, ou seja, o conjunto é linearmente independente.

Passo 5

Como tem 4 matrizes e tem dimensão 4, e já mostramos que é linearmente independente, ele também gera todo o espaço .

Resposta

Sim, o conjunto é uma base para o espaço vetorial .

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