Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear! A gente precisa encontrar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , a matriz vai ter 3 linhas e 2 colunas. Vamos chamar essa matriz de:
Passo 3
Agora, sabemos que x y . Isso significa que:
T(x, y) = a x + b y c x + d y e x + f y
Passo 4
Vamos usar as informações fornecidas no exercício para montar um sistema de equações. Sabemos que:
T(1, 2) = 3 -1 0 e T(0, 1) = 1 2 0
Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 5
Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, das últimas três equações:
Passo 6
Agora, substituímos a + 2(1) = 3 Rightarrow a + 2 = 3 Rightarrow a = 1 na primeira equação:
c + 2(2) = -1 Rightarrow c + 4 = -1 Rightarrow c = -5
Substituímos e + 2(0) = 0 Rightarrow e = 0 na segunda equação:
E substituímos na terceira equação:
Passo 7
Agora que encontramos todos os valores, a matriz A = 1 & 1 -5 & 2 0 & 0 fica assim:
Resposta
A transformação linear T(x, y) = 1 & 1 -5 & 2 0 & 0 x y = x + y -5x + 2y 0 é dada por: