Encontre uma transformação linear tal que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear! A gente precisa encontrar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , a matriz vai ter 3 linhas e 2 colunas. Vamos chamar essa matriz de:

Passo 3

Agora, sabemos que . Isso significa que:

Passo 4

Vamos usar as informações fornecidas no exercício para montar um sistema de equações. Sabemos que:
Isso nos dá as seguintes equações:

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, das últimas três equações:

Passo 6

Agora, substituímos na primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
E substituímos na terceira equação:

Passo 7

Agora que encontramos todos os valores, a matriz fica assim:

Resposta

A transformação linear é dada por:

[
T(x, y) =


]

Exercícios relacionados

Mostre que o conjunto é um subespaço vetorial de .
Sejam as matrizes e
Caso exista uma matriz nas condições dadas, calcule seu traço:
(a)
(b)
©
(d) .
Determine uma base para o subespaço
Discutir os seguintes sistemas lineares (em função de ):