Discutir os seguintes sistemas lineares (em função de ):
Passo 1
Então, a gente tem dois sistemas de equações lineares que dependem de um parâmetro . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de esses sistemas têm soluções, se têm uma solução única ou infinitas soluções. Para isso, vamos usar algumas ferramentas da álgebra linear, como determinantes e métodos de substituição e eliminação.
Passo 2
Vamos começar analisando o primeiro sistema:
x + y - a z = 0 a x + y - z = 2 - a x + a y - z = -a
Aqui, temos três equações com três incógnitas () e o parâmetro .
Passo 3
Para resolver esse sistema, podemos usar o método da matriz aumentada e calcular o determinante da matriz dos coeficientes. A matriz dos coeficientes é:
1 & 1 & -a a & 1 & -1 1 & a & -1
Calculando o determinante dessa matriz:
det = 1(1 cdot (-1) - (-1) cdot a) - 1(a cdot (-1) - (-1) cdot 1) + (-a)(a cdot a - 1 cdot 1)
Simplificando:
det = 1(-1 + a) - 1(-a + 1) - a(a^2 - 1) = (-1 + a) + (a - 1) - a^3 + a = -a^3 + 3a - 2
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de -a^3 + 3a - 2 = 0 Rightarrow a^3 - 3a + 2 = 0 que fazem o determinante ser zero, pois esses valores indicam que o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução:
(a - 1)(a^2 + a - 2) = 0 Rightarrow (a - 1)(a + 2)(a - 1) = 0
Fatorando a equação:
Então, ou .
Passo 5
Para e , o determinante é diferente de zero, o que significa que o sistema tem uma solução única. Já para ou , precisamos verificar se o sistema é possível e determinado, impossível ou indeterminado.
Passo 6
Vamos resolver o sistema para x + y - z = 0 x + y - z = 1 x + y - z = -1 :
Aqui, as três equações ficam inconsistentes (0 ≠ 1 e 0 ≠ -1), indicando que não há solução para .
Passo 7
Agora, para x + y + 2 z = 0 -2x + y - z = 4 x - 2 y - z = 2 :
Resolvendo esse sistema, encontramos que há infinitas soluções, ou seja, o sistema é indeterminado para .
Passo 8
Agora, vamos analisar o segundo sistema:
a x + 2 y = 6 3 x - y = -2 x + y = 0
Aqui, temos três equações com duas incógnitas () e o parâmetro .
Passo 9
Primeiro, observamos que o número de equações é maior que o número de incógnitas, então podemos verificar a consistência do sistema. Vamos usar o método de substituição.
Da terceira equação:
x + y = 0 Rightarrow y = -x
Substituindo 3x - (-x) = -2 Rightarrow 4x = -2 Rightarrow x = -12 na segunda equação:
Então, .
Passo 10
Agora, substituímos a (-12) + 2 (12) = 6 Rightarrow -a2 + 1 = 6 Rightarrow -a2 = 5 Rightarrow a = -10 e na primeira equação:
Portanto, para , o sistema tem uma solução consistente.
Resposta
Primeiro Sistema:
Para e , o sistema tem uma solução única.
Para , o sistema não tem solução.
Para , o sistema possui infinitas soluções.
Segundo Sistema:
O sistema tem solução única apenas quando . Para outros valores de , o sistema não possui solução.