Determine uma base para o subespaço S=(x, y, z) in R^3 mid x=5 y, z=-2 y

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma base para o subespaço . Vamos trabalhar com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Para resolver, precisamos encontrar vetores que gerem o subespaço de forma linearmente independente.

Passo 2

Primeiro, observamos as condições dadas:
x = 5y e z = -2y
Isso significa que os valores de (x, y, z) = (5y, y, -2y) e dependem diretamente do valor de . Podemos expressar o vetor em termos de :

Passo 3

Agora, vamos fatorar o (x, y, z) = y cdot (5, 1, -2) da expressão:
Isso mostra que todo vetor no subespaço pode ser escrito como um múltiplo escalar do vetor .

Passo 4

Como cada vetor em é um múltiplo de , esse único vetor é suficiente para gerar todo o subespaço. Além disso, ele é não nulo, garantindo que seja linearmente independente.

Resposta

Uma base para o subespaço é .

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