Seja T: P2(R) P2(R) o operador linear dado por T(p)=p-p(1). Se A=1, x-1,(x-1)^2 e B=1, t, t^2, encontre [T]B^A

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a matriz de transformação linear [T]B^A para o operador T: P2(R) P2(R) definido por T(p) = p - p(1). Estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2. As bases dadas são A = 1, x-1, (x-1)^2 e B = 1, t, t^2. Para resolver isso, precisamos entender como a transformação T age sobre os vetores da base B e expressar o resultado na base A.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o operador T a cada elemento da base B. Ou seja, vamos calcular T(1), T(t) e T(t^2). Lembre-se que T(p) = p - p(1), onde p(1) é o valor do polinômio p avaliado em 1.

Passo 3

Começando com T(1):
T(1) = 1 - 1(1) = 1 - 1 = 0
Então, T(1) = 0.

Passo 4

Agora, vamos para T(t):
T(t) = t - t(1) = t - 1
Portanto, T(t) = t - 1.

Passo 5

Por último, vamos calcular T(t^2):
T(t^2) = t^2 - t^2(1) = t^2 - 1
Assim, T(t^2) = t^2 - 1.

Passo 6

Agora que temos as imagens dos elementos da base B sob a transformação T, precisamos expressar cada uma delas na base A. A base A é 1, x-1, (x-1)^2, mas como estamos trabalhando com a variável t, vamos considerar x como t para manter a consistência.

Passo 7

Vamos começar com T(1) = 0. Precisamos encontrar coeficientes a, b e c tais que:
0 = a cdot 1 + b cdot (t - 1) + c cdot (t - 1)^2
Claramente, a única solução é a = 0, b = 0, e c = 0. Então, as coordenadas de T(1) na base A são (0, 0, 0).

Passo 8

Agora, para T(t) = t - 1, queremos:
t - 1 = a cdot 1 + b cdot (t - 1) + c cdot (t - 1)^2
Observando, notamos que t - 1 já está em termos da base A, então a = 0, b = 1, e c = 0. Portanto, as coordenadas são (0, 1, 0).

Passo 9

Por último, para T(t^2) = t^2 - 1, precisamos expressar isso na base A:
t^2 - 1 = a cdot 1 + b cdot (t - 1) + c cdot (t - 1)^2
Expandindo (t - 1)^2, temos t^2 - 2t + 1. Então:
t^2 - 1 = a + b(t - 1) + c(t^2 - 2t + 1)
Comparando os coeficientes:
  • Coeficiente de t^2: 1 = c
  • Coeficiente de t: 0 = b - 2c Rightarrow b = 2
  • Termo constante: -1 = a - b + c Rightarrow a = -1 + 2 -1 = 0
Portanto, as coordenadas são (0, 2, 1).

Resposta

A matriz [T]B^A é:
[T]B^A = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1

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