Seja
o operador linear dado por
. Se
e
, encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a matriz de transformação linear
para o operador
definido por
. Estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2. As bases dadas são
e
. Para resolver isso, precisamos entender como a transformação
age sobre os vetores da base
e expressar o resultado na base
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o operador
a cada elemento da base
. Ou seja, vamos calcular
,
e
. Lembre-se que
, onde
é o valor do polinômio
avaliado em
.
Passo 3
Começando com
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos para
:
Portanto,
.
Passo 5
Por último, vamos calcular
:
Assim,
.
Passo 6
Agora que temos as imagens dos elementos da base
sob a transformação
, precisamos expressar cada uma delas na base
. A base
é
, mas como estamos trabalhando com a variável
, vamos considerar
como
para manter a consistência.
Passo 7
Vamos começar com
. Precisamos encontrar coeficientes
,
e
tais que:
Claramente, a única solução é
,
, e
. Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 8
Agora, para
, queremos:
Observando, notamos que
já está em termos da base
, então
,
, e
. Portanto, as coordenadas são
.
Passo 9
Por último, para
, precisamos expressar isso na base
:
Expandindo
, temos
. Então:
Comparando os coeficientes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Portanto, as coordenadas são
.
Resposta
A matriz
é: