para todo
e
. Defina a aplicação
onde
(este é o produto interno canônico de
).
a) Prove que
é um produto interno.
b) Sendo
, calcule o ângulo e a distância entre as funções
.
c) Calcule o ângulo entre os vetores
e
, onde
são tais que
a) Prove que
b) Sendo
c) Calcule o ângulo entre os vetores
Passo 1
Beleza, então temos um exercício que trata de produto interno em espaços de funções contínuas. Vamos precisar entender o que é um produto interno e como calcular ângulos e distâncias entre funções usando integrais. Para resolver isso, vamos seguir cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte a): Precisamos provar que a aplicação
é realmente um produto interno. Isso significa verificar se ela satisfaz as propriedades de um produto interno: linearidade, simetria e positividade definida.
Passo 3
- Linearidade: O produto interno deve ser linear em cada componente. Ou seja,
e , onde é um escalar.
Passo 4
- Simetria: O produto interno deve ser simétrico, ou seja,
.
Passo 5
- Positividade Definida: Para todo
, e se e somente se .
Passo 6
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para
:
- Linearidade:
- Simetria:
- Positividade Definida:
E se e somente se para todo .
Passo 7
Parte b): Temos
e
no espaço
. Vamos calcular o ângulo e a distância entre essas funções usando o produto interno definido.
Passo 8
Primeiro, vamos calcular o produto interno
:
Sabemos que
, então:
Isso indica que as funções são ortogonais.
Passo 9
Agora, vamos calcular as normas das funções:
Passo 10
O ângulo
entre
e
é dado por:
Como
, temos
, ou seja,
radianos (90 graus).
Passo 11
A distância entre
e
é dada por:
Passo 12
Parte c): Queremos calcular o ângulo entre dois vetores
e
no espaço
tais que
e
.
Passo 13
Primeiro, aplicamos a fórmula da norma do vetor diferença:
Substituindo os valores:
Passo 14
Agora, usamos a fórmula do ângulo:
Portanto,
radianos (0 graus), indicando que os vetores são paralelos e na mesma direção.
Resposta
a) A aplicação
é um produto interno pois satisfaz as propriedades de linearidade, simetria e positividade definida.
b) O ângulo entre
e
é
radianos (90 graus) e a distância entre elas é
.
c) O ângulo entre os vetores
e
é
radianos (0 graus).