onde (este é o produto interno canônico de ).
a) Prove que é um produto interno.
b) Sendo , calcule o ângulo e a distância entre as funções .
c) Calcule o ângulo entre os vetores e , onde são tais que
Passo 1
Beleza, então temos um exercício que trata de produto interno em espaços de funções contínuas. Vamos precisar entender o que é um produto interno e como calcular ângulos e distâncias entre funções usando integrais. Para resolver isso, vamos seguir cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte a): Precisamos provar que a aplicação é realmente um produto interno. Isso significa verificar se ela satisfaz as propriedades de um produto interno: linearidade, simetria e positividade definida.
Passo 3
Linearidade: O produto interno deve ser linear em cada componente. Ou seja, e , onde é um escalar.
Passo 4
Simetria: O produto interno deve ser simétrico, ou seja, .
Passo 5
Positividade Definida: Para todo , e se e somente se .
Passo 6
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para :
Linearidade:
Simetria:
Positividade Definida:E se e somente se para todo .
Passo 7
Parte b): Temos e no espaço . Vamos calcular o ângulo e a distância entre essas funções usando o produto interno definido.
Passo 8
Primeiro, vamos calcular o produto interno :
Sabemos que , então:
Isso indica que as funções são ortogonais.
Passo 9
Agora, vamos calcular as normas das funções:
Passo 10
O ângulo entre e é dado por:
Como , temos , ou seja, radianos (90 graus).
Passo 11
A distância entre e é dada por:
Passo 12
Parte c): Queremos calcular o ângulo entre dois vetores e no espaço tais que e .
Passo 13
Primeiro, aplicamos a fórmula da norma do vetor diferença:
Substituindo os valores:
Passo 14
Agora, usamos a fórmula do ângulo:
Portanto, radianos (0 graus), indicando que os vetores são paralelos e na mesma direção.
Resposta
a) A aplicação é um produto interno pois satisfaz as propriedades de linearidade, simetria e positividade definida.
b) O ângulo entre e é radianos (90 graus) e a distância entre elas é .
c) O ângulo entre os vetores e é radianos (0 graus).