para todo e . Defina a aplicação
onde (este é o produto interno canônico de ).
a) Prove que é um produto interno.
b) Sendo , calcule o ângulo e a distância entre as funções .
c) Calcule o ângulo entre os vetores e , onde são tais que

Passo 1

Beleza, então temos um exercício que trata de produto interno em espaços de funções contínuas. Vamos precisar entender o que é um produto interno e como calcular ângulos e distâncias entre funções usando integrais. Para resolver isso, vamos seguir cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte a): Precisamos provar que a aplicação é realmente um produto interno. Isso significa verificar se ela satisfaz as propriedades de um produto interno: linearidade, simetria e positividade definida.

Passo 3

  • Linearidade: O produto interno deve ser linear em cada componente. Ou seja, e , onde é um escalar.

Passo 4

  • Simetria: O produto interno deve ser simétrico, ou seja, .

Passo 5

  • Positividade Definida: Para todo , e se e somente se .

Passo 6

Vamos verificar cada uma dessas propriedades para :
  1. Linearidade:
  2. Simetria:
  3. Positividade Definida: E se e somente se para todo .

Passo 7

Parte b): Temos e no espaço . Vamos calcular o ângulo e a distância entre essas funções usando o produto interno definido.

Passo 8

Primeiro, vamos calcular o produto interno :
Sabemos que , então:
Isso indica que as funções são ortogonais.

Passo 9

Agora, vamos calcular as normas das funções:

Passo 10

O ângulo entre e é dado por:
Como , temos , ou seja, radianos (90 graus).

Passo 11

A distância entre e é dada por:

Passo 12

Parte c): Queremos calcular o ângulo entre dois vetores e no espaço tais que e .

Passo 13

Primeiro, aplicamos a fórmula da norma do vetor diferença:
Substituindo os valores:

Passo 14

Agora, usamos a fórmula do ângulo:
Portanto, radianos (0 graus), indicando que os vetores são paralelos e na mesma direção.

Resposta

a) A aplicação é um produto interno pois satisfaz as propriedades de linearidade, simetria e positividade definida.
b) O ângulo entre e é radianos (90 graus) e a distância entre elas é .
c) O ângulo entre os vetores e é radianos (0 graus).

Exercícios relacionados

Determine , tal que os vetores e sejam ortogonais:
a) e ;
b) e .
(1,0) Considere agora a seguinte matriz antissimétrica:
Verifique se essa matriz é ou não invertível.
Encontre uma transformação linear tal que o vetor pertence ao núcleo de e vetor pertença a imagem de .