(f+g)(t)=f(t)+g(t) e (lambda f)(t)=lambda f(t)
para todo t in[a, b] e lambda in R. Defina a aplicação
lang<= f, grang<==integrala^b f(t) g(t) d t
onde f, g in V (este é o produto interno canônico de C([a, b]) ).
a) Prove que lang<=cdot, cdotrang<= é um produto interno.
b) Sendo f, g in V=C([0,2 pi]), calcule o ângulo e a distância entre as funções f(x)=sin (x) e g(x)=cos (x).
c) Calcule o ângulo entre os vetores u e v, onde u, v in V são tais que
|u|=|v|=1 e|u-v|=2

Passo 1

Beleza, então temos um exercício que trata de produto interno em espaços de funções contínuas. Vamos precisar entender o que é um produto interno e como calcular ângulos e distâncias entre funções usando integrais. Para resolver isso, vamos seguir cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte a): Precisamos provar que a aplicação é realmente um produto interno. Isso significa verificar se ela satisfaz as propriedades de um produto interno: linearidade, simetria e positividade definida.

Passo 3

  • Linearidade: O produto interno deve ser linear em cada componente. Ou seja, e , onde é um escalar.

Passo 4

  • Simetria: O produto interno deve ser simétrico, ou seja, .

Passo 5

  • Positividade Definida: Para todo , e se e somente se .

Passo 6

Vamos verificar cada uma dessas propriedades para lang<= f + g, h rang<= = integrala^b (f(t) + g(t)) h(t) dt = integrala^b f(t) h(t) dt + integrala^b g(t) h(t) dt = lang<= f, h rang<= + lang<= g, h rang<= :
  1. Linearidade: lang<= lambda f, g rang<= = integrala^b lambda f(t) g(t) dt = lambda integrala^b f(t) g(t) dt = lambda lang<= f, g rang<= lang<= f, g rang<= = integrala^b f(t) g(t) dt = integrala^b g(t) f(t) dt = lang<= g, f rang<=
  2. Simetria: lang<= f, f rang<= = integrala^b f(t)^2 dt >= 0
  3. Positividade Definida: E se e somente se para todo .

Passo 7

Parte b): Temos e no espaço . Vamos calcular o ângulo e a distância entre essas funções usando o produto interno definido.

Passo 8

Primeiro, vamos calcular o produto interno lang<= f, g rang<= = integral0^2pi sin(x) cos(x) dx :
lang<= f, g rang<= = 12 integral0^2pi sin(2x) dx = 0
Sabemos que , então:
Isso indica que as funções são ortogonais.

Passo 9

Agora, vamos calcular as normas das funções:
|f| = raizlang<= f, f rang<= = raizintegral0^2pi sin^2(x) dx = raizpi
|g| = raizlang<= g, g rang<= = raizintegral0^2pi cos^2(x) dx = raizpi

Passo 10

O ângulo cos(theta) = lang<= f, g rang<=|f| |g| entre e é dado por:
Como , temos , ou seja, radianos (90 graus).

Passo 11

A distância entre |f - g| = raiz|f|^2 + |g|^2 - 2lang<= f, g rang<= = raizpi + pi - 0 = raiz2pi e é dada por:

Passo 12

Parte c): Queremos calcular o ângulo entre dois vetores e no espaço tais que e .

Passo 13

Primeiro, aplicamos a fórmula da norma do vetor diferença:
|u - v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2lang<= u, v rang<=
Substituindo os valores:
2^2 = 1^2 + 1^2 - 2lang<= u, v rang<= Rightarrow 4 = 2 - 2lang<= u, v rang<=
-2 = -2lang<= u, v rang<= Rightarrow lang<= u, v rang<= = 1

Passo 14

Agora, usamos a fórmula do ângulo:
cos(theta) = lang<= u, v rang<=|u| |v| = 11 times 1 = 1
Portanto, radianos (0 graus), indicando que os vetores são paralelos e na mesma direção.

Resposta

a) A aplicação é um produto interno pois satisfaz as propriedades de linearidade, simetria e positividade definida.
b) O ângulo entre e é radianos (90 graus) e a distância entre elas é .
c) O ângulo entre os vetores e é radianos (0 graus).

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