lang<=(ll a11 & a12 a21 & a22 ),(ll b11 & b12 b21 & b22 )rang<==a11 b11+a12 b12+a21 b21+a22 b22
(a) Prove que
lang<=A, Brang<==tr(B^t A),
em que X^t denota a transposta de uma matriz X e tr(X) denota o traço de uma matriz quadrada X (isto é, a soma dos elementos de sua diagonal principal).
(b) Determinar x de modo que u=[cc1 & -2 5 & x] e v=[cc3 & 2 1 & -1] sejam ortogonais.
© Se W=(ccx & y z & w): x+y-z=0, determine uma base ortonormal para W .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. No item (a), a gente tem duas matrizes 2x2, lang<=A, Brang<= = a11 b11 + a12 b12 + a21 b21 + a22 b22 e lang<=A, Brang<= = tr(B^t A) , e uma definição de produto interno entre elas:
A questão quer que a gente prove que esse produto interno é igual ao traço da matriz , ou seja:
Para isso, vamos precisar entender o que são a transposta de uma matriz ( ) e o traço de uma matriz ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz B = b11 & b12 b21 & b22 , denotada por B^t = b11 & b21 b12 & b22 , é uma matriz obtida trocando as linhas pelas colunas. Então, se:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto A = a11 & a12 a21 & a22 . Suponha que:
B^t A = b11 & b21 b12 & b22 a11 & a12 a21 & a22 = b11a11 + b21a21 & b11a12 + b21a22 b12a11 + b22a21 & b12a12 + b22a22
Então:

Passo 4

O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Então, para tr(B^t A) = (b11a11 + b21a21) + (b12a12 + b22a22) :
tr(B^t A) = a11b11 + a21b21 + a12b12 + a22b22
Simplificando:
lang<=A, Brang<= = a11 b11 + a12 b12 + a21 b21 + a22 b22
Que é exatamente a definição do produto interno dado no enunciado:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b) da questão. Aqui, queremos encontrar o valor de u = 1 & -2 5 & x e v = 3 & 2 1 & -1 de maneira que as matrizes:
sejam ortogonais. Lembrando que matrizes são ortogonais se o produto interno delas for zero.

Passo 6

Usando a definição de produto interno que vimos na parte (a):
lang<= u, v rang<= = u11v11 + u12v12 + u21v21 + u22v22
Substituindo os valores:
lang<= u, v rang<= = (1)(3) + (-2)(2) + (5)(1) + (x)(-1) = 3 - 4 + 5 - x

Passo 7

Simplificando a expressão:
3 - 4 + 5 - x = 4 - x
Para que 4 - x = 0 implies x = 4 e sejam ortogonais, o produto interno deve ser zero:

Passo 8

Finalmente, vamos para a parte ©. Precisamos determinar uma base ortonormal para o espaço W = x & y z & w : x + y - z = 0 definido por:
Primeiro, vamos entender melhor esse espaço.

Passo 9

A condição z = x + y impõe uma restrição linear entre as entradas das matrizes. Podemos expressar uma delas em termos das outras. Por exemplo:
x & y x + y & w
Então, uma matriz em pode ser escrita como:
Aqui, , e são livres, ou seja, podem assumir quaisquer valores reais.

Passo 10

Para encontrar uma base ortonormal, primeiro precisamos encontrar uma base ortonormal para o espaço. Vamos considerar que o espaço v1 = 1 & 0 1 & 0, v2 = 0 & 1 1 & 0, v3 = 0 & 0 0 & 1 tem dimensão 3 (já que temos 3 variáveis livres: , , ).
Escolhemos vetores que satisfazem a condição . Por exemplo:

Passo 11

Agora, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar esses vetores.
Primeiro, vamos normalizar |v1| = raizlang<= v1, v1 rang<= = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2 :
u1 = 1raiz2 1 & 0 1 & 0
Então:

Passo 12

Agora, vamos ortogonalizar v2' = v2 - lang<= v2, u1 rang<= u1 em relação a lang<= v2, u1 rang<= = 1raiz2(0 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 1 + 0 cdot 0) = 1raiz2 :
v2' = 0 & 1 1 & 0 - 1raiz2 cdot 1raiz2 1 & 0 1 & 0 = 0 & 1 1 & 0 - 12 1 & 0 1 & 0 = -12 & 1 12 & 0
Calculando:
Então:

Passo 13

Agora, normalizamos |v2'| = raiz(-12)^2 + 1^2 + (12)^2 + 0^2 = raiz14 + 1 + 14 = raiz32 = raiz62 :
u2 = 2raiz6 -12 & 1 12 & 0 = 1raiz6 -1 & 2 1 & 0
Então:

Passo 14

Por fim, vamos ortogonalizar v3' = v3 - lang<= v3, u1 rang<= u1 - lang<= v3, u2 rang<= u2 em relação a lang<= v3, u1 rang<= = 1raiz2(0 cdot 1 + 0 cdot 0 + 0 cdot 1 + 1 cdot 0) = 0 e lang<= v3, u2 rang<= = 1raiz6(0 cdot (-1) + 0 cdot 2 + 0 cdot 1 + 1 cdot 0) = 0 :
v3' = v3 = 0 & 0 0 & 1
Calculando:
|v3'| = raiz0^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 = 1
u3 = 0 & 0 0 & 1
Portanto:
Normalizando:
Então:

Resposta

A base ortonormal para 1raiz2 1 & 0 1 & 0, 1raiz6 -1 & 2 1 & 0, 0 & 0 0 & 1 é:

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