(a) Prove que
em que
denota a transposta de uma matriz X e
denota o traço de uma matriz quadrada X (isto é, a soma dos elementos de sua diagonal principal).
(b) Determinar
de modo que
sejam ortogonais.
©
, determine uma base ortonormal para W .
(b) Determinar
©
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. No item (a), a gente tem duas matrizes 2x2,
e
, e uma definição de produto interno entre elas:
A questão quer que a gente prove que esse produto interno é igual ao traço da matriz
, ou seja:
Para isso, vamos precisar entender o que são a transposta de uma matriz (
) e o traço de uma matriz (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é uma matriz obtida trocando as linhas pelas colunas. Então, se:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto
. Suponha que:
Então:
Passo 4
O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Então, para
:
Simplificando:
Que é exatamente a definição do produto interno dado no enunciado:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b) da questão. Aqui, queremos encontrar o valor de
de maneira que as matrizes:
sejam ortogonais. Lembrando que matrizes são ortogonais se o produto interno delas for zero.
Passo 6
Usando a definição de produto interno que vimos na parte (a):
Substituindo os valores:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Para que
e
sejam ortogonais, o produto interno deve ser zero:
Passo 8
Finalmente, vamos para a parte ©. Precisamos determinar uma base ortonormal para o espaço
definido por:
Primeiro, vamos entender melhor esse espaço.
Passo 9
A condição
impõe uma restrição linear entre as entradas das matrizes. Podemos expressar uma delas em termos das outras. Por exemplo:
Então, uma matriz em
pode ser escrita como:
Aqui,
,
e
são livres, ou seja, podem assumir quaisquer valores reais.
Passo 10
Para encontrar uma base ortonormal, primeiro precisamos encontrar uma base ortonormal para o espaço. Vamos considerar que o espaço
tem dimensão 3 (já que temos 3 variáveis livres:
,
,
).
Escolhemos vetores que satisfazem a condição
. Por exemplo:
Passo 11
Agora, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar esses vetores.
Primeiro, vamos normalizar
:
Então:
Passo 12
Agora, vamos ortogonalizar
em relação a
:
Calculando:
Então:
Passo 13
Agora, normalizamos
:
Então:
Passo 14
Por fim, vamos ortogonalizar
em relação a
e
:
Calculando:
Portanto:
Normalizando:
Então:
Resposta
A base ortonormal para
é: