Encontre a Transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a Transformada de Laplace da função . Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da definição da Transformada de Laplace e aplicar essa definição à função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo em uma função no domínio de s, que geralmente facilita resolver equações diferenciais. A definição da Transformada de Laplace é:
Isso significa que vamos integrar a função multiplicada por de 0 até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula, temos:
Precisamos calcular essa integral para encontrar a Transformada de Laplace da função cosseno.

Passo 4

Para resolver a integral , podemos usar uma fórmula padrão de integrais envolvendo exponenciais e funções trigonométricas. A integral resulta em:
Essa é uma fórmula conhecida que simplifica muito nosso trabalho.

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Mostre que a função dada por é contínua em . [Sugestão: Considere .]
Observe a figura a seguir. Seja um triângulo retângulo e a bissetriz do ângulo . Além disso, considere . Dessa forma, o segmento mede (em função de ):
A
a)
b)
c)
d)
e)
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Encontre a Transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir: