Encontre a Transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a Transformada de Laplace da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente nas transformadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber a definição da Transformada de Laplace e a fórmula para a transformada de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo para o domínio da frequência . A fórmula geral é:
No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da Transformada de Laplace para . Sabemos que a transformada de é uma das transformadas padrão. A fórmula é:
Isso porque ao integrar no intervalo de 0 a infinito, chegamos a essa expressão.

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Encontre a Transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:
Seja o período de um planeta em torno do Sol; ou seja, é o tempo necessário para o planeta dar uma volta completa em torno do Sol, em sua órbita elíptica. Suponha que os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse sejam e . Mostre que .
O período da Terra girando em torno do Sol é de aproximadamente 365,25 dias. Utilize esse fato e a Terceira Lei de Kepler para determinar o eixo maior da órbita terrestre. Você precisará do valor da massa do Sol, , e da constante gravitacional, .