Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
l z=x^2+x y^3, x=u v^2+w^3, y=u+u e^w ; partial zpartial u, partial zpartial v, partial zpartial w quando u=2, v=1, w=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de z &= x^2 + x y^3 x &= u v^2 + w^3 y &= u + u e^w em relação a , e . A gente vai precisar trabalhar com funções compostas e calcular derivadas parciais. Vamos organizar as funções que temos:
Vamos calcular , e quando , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x + y^3 em relação a partial zpartial y = 3x y^2 e :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de partial xpartial u = v^2 e partial xpartial v = 2u v em relação a partial xpartial w = 3w^2 , partial ypartial u = 1 + e^w e partial ypartial v = 0 :
Para partial ypartial w = u e^w :
Para :

Passo 4

Vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u , partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v e partial zpartial w = partial zpartial x cdot partial xpartial w + partial zpartial y cdot partial ypartial w :

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores de x = 2 cdot 1^2 + 0^3 = 2 + 0 = 2 , y = 2 + 2 e^0 = 2 + 2 cdot 1 = 4 e partial zpartial x = 2(2) + 4^3 = 4 + 64 = 68 nas equações:
Primeiro, calculamos partial zpartial y = 3(2)(4)^2 = 3 cdot 2 cdot 16 = 96 e :
Agora, substituímos esses valores nas derivadas de :

Passo 6

Finalmente, calculamos as derivadas parciais:
partial zpartial u = 68 cdot partial xpartial u + 96 cdot partial ypartial u = 68 cdot 1^2 + 96 cdot (1 + e^0) = 68 + 96 cdot 2 = 68 + 192 = 260
partial zpartial v = 68 cdot partial xpartial v + 96 cdot partial ypartial v = 68 cdot (2 cdot 2 cdot 1) + 96 cdot 0 = 68 cdot 4 + 0 = 272
partial zpartial w = 68 cdot partial xpartial w + 96 cdot partial ypartial w = 68 cdot (3 cdot 0^2) + 96 cdot (2 e^0) = 68 cdot 0 + 96 cdot 2 = 0 + 192 = 192

Resposta

partial zpartial u = 260, partial zpartial v = 272, partial zpartial w = 192

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