Encontre a transformada de Laplace da função dada.
14.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função:
O que precisamos saber: A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando funções do tempo
para o domínio da frequência
. Aqui, vamos usar a função de Heaviside (ou função degrau) e a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando a função de Heaviside, que é definida como:
Então, podemos expressar
assim:
Isso significa que a função
é zero antes de
e igual a
a partir de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da propriedade de deslocamento na transformada de Laplace:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
No nosso caso,
e
. Mas precisamos ajustar para que a função dentro da transformada seja
.
Passo 4
Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar. Seja
, então
. Substituindo na função
:
Expandindo:
Então,
simplifica para
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, aplicando a transformada de Laplace:
Usamos a propriedade de deslocamento:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que:
Portanto:
E:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão:
Podemos fatorar
se quiser, mas essa forma já está boa!
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
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Definimos o raio de curvarura de uma curva
num ponto
como sendo
onde
é a curvatura da curva
. Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto
dado das seguintes curvas:
;
(a)
Definimos o raio de curvarura de uma curva
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.
Calcule
onde