Encontre a transformada de Laplace da função dada.
14.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função:
O que precisamos saber: A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando funções do tempo para o domínio da frequência . Aqui, vamos usar a função de Heaviside (ou função degrau) e a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando a função de Heaviside, que é definida como:
Então, podemos expressar assim:
Isso significa que a função é zero antes de e igual a a partir de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da propriedade de deslocamento na transformada de Laplace:
Onde é a transformada de Laplace de .
No nosso caso, e . Mas precisamos ajustar para que a função dentro da transformada seja .

Passo 4

Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar. Seja , então . Substituindo na função :
Expandindo:
Então, simplifica para , ou seja, .

Passo 5

Agora, aplicando a transformada de Laplace:
Usamos a propriedade de deslocamento:
Simplificando:

Passo 6

Sabemos que:
Portanto:
E:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
Podemos fatorar se quiser, mas essa forma já está boa!

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Definimos o raio de curvarura de uma curva num ponto como sendo
onde é a curvatura da curva . Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado das seguintes curvas: ;
(a)
Definimos o raio de curvarura de uma curva num ponto como sendo
onde é a curvatura da curva . Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado das seguintes curvas: .
Calcule onde