Definimos o raio de curvarura de uma curva num ponto como sendo
onde é a curvatura da curva . Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado das seguintes curvas: ;

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve curvatura e raio de curvatura de uma curva. A curva dada é e o ponto de interesse é . Para resolver, vamos precisar entender as definições de curvatura e raio de curvatura , além de usar cálculo diferencial para encontrar as derivadas necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a curvatura de uma função é dada pela fórmula:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a e é a segunda derivada.

Passo 3

Vamos encontrar a primeira derivada de :

Passo 4

Agora, encontramos a segunda derivada de :

Passo 5

Substituímos e na fórmula da curvatura:

Passo 6

Agora, calculamos a curvatura no ponto , ou seja, quando :

Passo 7

Para encontrar o raio de curvatura , usamos a relação:
Substituindo o valor de :

Resposta

No ponto da curva , a curvatura é e o raio de curvatura é .

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(a)
Seja uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Mostre que, para todo , onde é a curvatura em ;
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
14.
Definimos o raio de curvarura de uma curva num ponto como sendo
onde é a curvatura da curva . Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado das seguintes curvas: .