Definimos o raio de curvarura de uma curva
num ponto
como sendo
onde
é a curvatura da curva
. Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto
dado das seguintes curvas:
;
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve curvatura e raio de curvatura de uma curva. A curva dada é
e o ponto de interesse é
. Para resolver, vamos precisar entender as definições de curvatura
e raio de curvatura
, além de usar cálculo diferencial para encontrar as derivadas necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a curvatura de uma função
é dada pela fórmula:
Aqui,
é a primeira derivada de
em relação a
e
é a segunda derivada.
Passo 3
Vamos encontrar a primeira derivada de
:
Passo 4
Agora, encontramos a segunda derivada de
:
Passo 5
Substituímos
e
na fórmula da curvatura:
Passo 6
Agora, calculamos a curvatura no ponto
, ou seja, quando
:
Passo 7
Para encontrar o raio de curvatura
, usamos a relação:
Substituindo o valor de
:
Resposta
No ponto
da curva
, a curvatura é
e o raio de curvatura é
.
Exercícios relacionados
(a)
Seja
uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Mostre que, para todo
, onde
é a curvatura em
;
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
14.
14.
Definimos o raio de curvarura de uma curva
num ponto
como sendo
onde
é a curvatura da curva
. Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto
dado das seguintes curvas:
.