Definimos o raio de curvarura de uma curva gamma num ponto P como sendo
rho(t) = 1/k(t)
onde k(t) != 0 é a curvatura da curva gamma. Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto P dado das seguintes curvas: y = e^x, P = (0, 1);

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve curvatura e raio de curvatura de uma curva. A curva dada é e o ponto de interesse é . Para resolver, vamos precisar entender as definições de curvatura e raio de curvatura , além de usar cálculo diferencial para encontrar as derivadas necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a curvatura de uma função é dada pela fórmula:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a e é a segunda derivada.

Passo 3

Vamos encontrar a primeira derivada de :

Passo 4

Agora, encontramos a segunda derivada de :

Passo 5

Substituímos e na fórmula da curvatura:

Passo 6

Agora, calculamos a curvatura no ponto , ou seja, quando :

Passo 7

Para encontrar o raio de curvatura , usamos a relação:
Substituindo o valor de :

Resposta

No ponto da curva , a curvatura é e o raio de curvatura é .

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