(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a terceira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da derivação várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis mede como a função muda quando essa variável muda, mantendo as outras constantes. No nosso caso, queremos derivar
em relação a
, tratando
como constante.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
:
Derivando termo a termo:
Como
é constante, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Derivando novamente em relação a
:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a terceira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Derivando mais uma vez em relação a
:
Resposta
A terceira derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Seja
uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Mostre que, para todo
, onde
é a curvatura em
;
Considerando
e
, calcule a curvatura das seguintes curvas:
Definimos o raio de curvarura de uma curva
num ponto
como sendo
onde
é a curvatura da curva
. Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto
dado das seguintes curvas:
;
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
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