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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a terceira derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da derivação várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis mede como a função muda quando essa variável muda, mantendo as outras constantes. No nosso caso, queremos derivar em relação a , tratando como constante.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , que é :
Derivando termo a termo:
Como é constante, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Derivando novamente em relação a :

Passo 5

Por fim, vamos calcular a terceira derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Derivando mais uma vez em relação a :

Resposta

A terceira derivada parcial de em relação a é:

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