Encontre a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a Transformada de Laplace da função dada:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Laplace e entender como ela se comporta com integrais e funções trigonométricas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma função
é definida por:
No nosso caso, temos uma integral envolvendo
, então vai ser útil usar propriedades de transformadas de funções integradas.
Passo 3
Observamos que a função
é uma convolução entre
e
. A convolução de duas funções
e
é dada por:
No nosso caso, temos:
Passo 4
Sabendo que a Transformada de Laplace da convolução de duas funções é o produto das Transformadas de Laplace de cada função individualmente, ou seja:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 5
Agora, vamos calcular as Transformadas de Laplace de cada função separadamente.
Primeiro, para
, usamos a fórmula padrão:
Onde
, então:
Passo 6
Em seguida, para
, usamos a Transformada de Laplace para funções cosseno:
Aqui,
, então:
Passo 7
Agora, multiplicamos as duas transformadas que encontramos:
Simplificando os termos:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é:
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