Encontre a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=integral0^t(t-tau)^2 cos (2 tau) d tau

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a Transformada de Laplace da função dada:
f(t) = integral0^t(t-tau)^2 cos (2 tau) , dtau
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Laplace e entender como ela se comporta com integrais e funções trigonométricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é definida por:
No nosso caso, temos uma integral envolvendo , então vai ser útil usar propriedades de transformadas de funções integradas.

Passo 3

Observamos que a função (f * g)(t) = integral0^t g(t-tau) h(tau) , dtau é uma convolução entre e . A convolução de duas funções e é dada por:
No nosso caso, temos:

Passo 4

Sabendo que a Transformada de Laplace da convolução de duas funções é o produto das Transformadas de Laplace de cada função individualmente, ou seja:
Lf * g = Lf cdot Lg
Aplicando isso ao nosso caso:
Lf(t) = Lt^2 cdot Lcos(2t)

Passo 5

Agora, vamos calcular as Transformadas de Laplace de cada função separadamente.
Primeiro, para Lt^n = n!s^n+1 , usamos a fórmula padrão:
Lt^2 = 2!s^3 = 2s^3
Onde , então:

Passo 6

Em seguida, para Lcos(at) = ss^2 + a^2 , usamos a Transformada de Laplace para funções cosseno:
Lcos(2t) = ss^2 + 4
Aqui, , então:

Passo 7

Agora, multiplicamos as duas transformadas que encontramos:
Lf(t) = 2s^3 cdot ss^2 + 4 = 2ss^3(s^2 + 4)
Simplificando os termos:
Lf(t) = 2s^2(s^2 + 4)

Resposta

A Transformada de Laplace da função Lf(t) = 2s^2(s^2 + 4) é:

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