Encontre a transformada de Laplace da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a Transformada de Laplace da função dada:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Laplace e entender como ela se comporta com integrais e funções trigonométricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma função é definida por:
No nosso caso, temos uma integral envolvendo , então vai ser útil usar propriedades de transformadas de funções integradas.

Passo 3

Observamos que a função é uma convolução entre e . A convolução de duas funções e é dada por:
No nosso caso, temos:

Passo 4

Sabendo que a Transformada de Laplace da convolução de duas funções é o produto das Transformadas de Laplace de cada função individualmente, ou seja:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 5

Agora, vamos calcular as Transformadas de Laplace de cada função separadamente.
Primeiro, para , usamos a fórmula padrão:
Onde , então:

Passo 6

Em seguida, para , usamos a Transformada de Laplace para funções cosseno:
Aqui, , então:

Passo 7

Agora, multiplicamos as duas transformadas que encontramos:
Simplificando os termos:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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