Seja
uma função. É possível que
tenha uma inversa à direita mas não tenha uma inversa à esquerda?
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e queremos saber se é possível que
tenha uma inversa à direita, mas não tenha uma inversa à esquerda. Vamos explorar isso usando os conceitos de funções inversas e as propriedades que elas precisam ter.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma inversa à direita e uma inversa à esquerda. Uma função
é chamada de inversa à direita de
se quando a gente compõe
com
, a gente volta para a função identidade em
, ou seja:
Já uma função
é uma inversa à esquerda de
se:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que se uma função tem uma inversa à esquerda, ela tem que ser injetora (cada elemento de
é mapeado de forma única para
). Se tiver uma inversa à direita, a função tem que ser sobrejetora (todos os elementos de
são atingidos por
).
Passo 4
Vamos pensar em exemplos. Se uma função é bijetora, ou seja, é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, ela tem uma inversa única que é tanto à direita quanto à esquerda. Mas e se a função for apenas sobrejetora ou apenas injetora?
Passo 5
Se
for sobrejetora, então ela tem uma inversa à direita, porque conseguimos encontrar uma função
que cobre todo o conjunto
. Porém, isso não garante que
seja injetora. Se
não for injetora, não existe uma inversa à esquerda.
Passo 6
Portanto, é possível sim ter uma função que é sobrejetora (com inversa à direita) mas não é injetora (sem inversa à esquerda).
Resposta
Sim, é possível que
tenha uma inversa à direita sem ter uma inversa à esquerda, desde que
seja sobrejetora mas não injetora.
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Seja
uma função. Se
e
são inversas à direita para a função
, elas são necessariemnte iguais?
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uma função. Se
e
são inversas à esquerda para a função
, elas são necessariamente iguais?
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