Seja uma função. É possível que tenha uma inversa à direita mas não tenha uma inversa à esquerda?

Passo 1

Então, a gente tem uma função e queremos saber se é possível que tenha uma inversa à direita, mas não tenha uma inversa à esquerda. Vamos explorar isso usando os conceitos de funções inversas e as propriedades que elas precisam ter.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma inversa à direita e uma inversa à esquerda. Uma função é chamada de inversa à direita de se quando a gente compõe com , a gente volta para a função identidade em , ou seja:
Já uma função é uma inversa à esquerda de se:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que se uma função tem uma inversa à esquerda, ela tem que ser injetora (cada elemento de é mapeado de forma única para ). Se tiver uma inversa à direita, a função tem que ser sobrejetora (todos os elementos de são atingidos por ).

Passo 4

Vamos pensar em exemplos. Se uma função é bijetora, ou seja, é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, ela tem uma inversa única que é tanto à direita quanto à esquerda. Mas e se a função for apenas sobrejetora ou apenas injetora?

Passo 5

Se for sobrejetora, então ela tem uma inversa à direita, porque conseguimos encontrar uma função que cobre todo o conjunto . Porém, isso não garante que seja injetora. Se não for injetora, não existe uma inversa à esquerda.

Passo 6

Portanto, é possível sim ter uma função que é sobrejetora (com inversa à direita) mas não é injetora (sem inversa à esquerda).

Resposta

Sim, é possível que tenha uma inversa à direita sem ter uma inversa à esquerda, desde que seja sobrejetora mas não injetora.

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