Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais, especificamente lidando com soluções de equações lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e aplicar o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é baseada nas raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação homogênea:
Resolvendo para , temos:

Passo 4

Como as raízes são imaginárias , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea .
No método de variação dos parâmetros, assumimos que as constantes e são funções de , ou seja, e .

Passo 6

A fórmula para a solução particular é:
onde e são funções a serem determinadas.

Passo 7

Para encontrar e , precisamos resolver o seguinte sistema:

Passo 8

Resolvendo o sistema, podemos multiplicar a primeira equação por e a segunda por e subtrair:
Simplificando:
Como , então:
Integrando:
Podemos considerar para simplificar, então .

Passo 9

Agora, substituímos na primeira equação do sistema para encontrar :
Portanto:
Integrando:
Essa integral pode ser resolvida por partes.

Passo 10

Usando a integração por partes para :
Seja e . Então, e .
Aplicando a fórmula:
Temos:
A segunda integral não tem uma solução elementar, mas para fins de resolução, vamos considerar que a função pode ser expressa em termos de integrais conhecidas ou deixar essa parte expressa de forma integral.

Passo 11

De volta à solução particular:
Podemos deixar a solução nessa forma, indicando que a integral pode ser resolvida numericamente ou deixada em termos de integrais definidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde e são constantes arbitrárias.

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