Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método de variação dos parâmetros. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais, especificamente lidando com soluções de equações lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e aplicar o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é baseada nas raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na equação homogênea:
Resolvendo para
, temos:
Passo 4
Como as raízes são imaginárias
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular
da equação não homogênea
.
No método de variação dos parâmetros, assumimos que as constantes
e
são funções de
, ou seja,
e
.
Passo 6
A fórmula para a solução particular é:
onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 7
Para encontrar
e
, precisamos resolver o seguinte sistema:
Passo 8
Resolvendo o sistema, podemos multiplicar a primeira equação por
e a segunda por
e subtrair:
Simplificando:
Como
, então:
Integrando:
Podemos considerar
para simplificar, então
.
Passo 9
Agora, substituímos
na primeira equação do sistema para encontrar
:
Portanto:
Integrando:
Essa integral pode ser resolvida por partes.
Passo 10
Usando a integração por partes para
:
Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a fórmula:
Temos:
A segunda integral
não tem uma solução elementar, mas para fins de resolução, vamos considerar que a função
pode ser expressa em termos de integrais conhecidas ou deixar essa parte expressa de forma integral.
Passo 11
De volta à solução particular:
Podemos deixar a solução nessa forma, indicando que a integral pode ser resolvida numericamente ou deixada em termos de integrais definidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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