Encontre a Transformada de Laplace da função dada.
f(t) = { 0 se t < pi, (t - pi) se pi <= t < 2 pi, 0 se t >= 2 pi }

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a Transformada de Laplace da função definida por partes. Isso envolve conhecimentos de funções por partes e da aplicação da transformada de Laplace em funções que mudam de comportamento em diferentes intervalos de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função :
Essa função é zero antes de , cresce linearmente de até e volta a ser zero após .

Passo 3

Para encontrar a Transformada de Laplace, vamos expressar usando a função degrau unitário . A função pode ser reescrita como:
Aqui, ativa a função a partir de e desativa a função a partir de .

Passo 4

Sabemos que a Transformada de Laplace da função é dada por:
Onde é o deslocamento no tempo.

Passo 5

Aplicando essa fórmula à nossa função , temos dois termos:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora, subtraímos a transformada do segundo termo da transformada do primeiro termo:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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