Encontre a Transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a Transformada de Laplace da função definida por partes. Isso envolve conhecimentos de funções por partes e da aplicação da transformada de Laplace em funções que mudam de comportamento em diferentes intervalos de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função :
Essa função é zero antes de , cresce linearmente de até e volta a ser zero após .
Passo 3
Para encontrar a Transformada de Laplace, vamos expressar usando a função degrau unitário . A função pode ser reescrita como:
Aqui, ativa a função a partir de e desativa a função a partir de .
Passo 4
Sabemos que a Transformada de Laplace da função é dada por:
Onde é o deslocamento no tempo.
Passo 5
Aplicando essa fórmula à nossa função , temos dois termos:
Para :
Para :
Passo 6
Agora, subtraímos a transformada do segundo termo da transformada do primeiro termo: