Calcule os limites a seguir:
(f) lim x 0 xe^x-cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente está lidando com limites de funções que envolvem exponenciais e cossenos. Pra resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de e, possivelmente, usar a Regra de L’Hôpital se a gente ficar com uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 0e^0 - cos(0) = 01 - 1 = 00 na expressão:
A gente ficou com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos de outra estratégia para resolver esse limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , uma ferramenta útil é a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se o limite de resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas das funções:
desde que esse novo limite exista.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital no nosso limite. Precisamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador ( f'(x) = 1 ):
g'(x) = e^x - (-sin(x)) = e^x + sin(x)
Derivada do denominador ( ):

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas no limite:
limx 0 f'(x)g'(x) = limx 0 1e^x + sin(x)
Vamos agora calcular esse limite substituindo 1e^0 + sin(0) = 11 + 0 = 1 :

Resposta

O limite é igual a .

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Encontre a Transformada de Laplace da função dada.
f(t) = { 0 se t < pi, (t - pi) se pi <= t < 2 pi, 0 se t >= 2 pi }
Calcular o valor de cada expressão:
e^(ln 6 + (pi/3) i)