Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Se a_n <= b_n, para todo n, tal que ( b_n é convergente, então a_n é convergente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: “Se para todo , e a sequência é convergente, então a sequência também é convergente.” Vamos usar conceitos de sequências e convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge se existe um número real tal que, conforme fica maior, os termos se aproximam cada vez mais de .

Passo 3

Agora, a afirmação diz que se para todo e converge, então também converge. Para verificar se isso é sempre verdadeiro, podemos procurar um contra-exemplo.

Passo 4

Vamos escolher para todo . Essa sequência claramente converge para 1. Agora, vamos escolher . Assim, temos , que está sempre menor ou igual a .

Passo 5

Observamos que oscila entre -1 e 1 e não se aproxima de nenhum número específico conforme aumenta. Portanto, não é convergente, mesmo satisfazendo para todo .

Resposta

F

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