Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Se
, tal que (
é convergente, então
é convergente;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: “Se
para todo
, e a sequência
é convergente, então a sequência
também é convergente.” Vamos usar conceitos de sequências e convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência
converge se existe um número real
tal que, conforme
fica maior, os termos
se aproximam cada vez mais de
.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que se
para todo
e
converge, então
também converge. Para verificar se isso é sempre verdadeiro, podemos procurar um contra-exemplo.
Passo 4
Vamos escolher
para todo
. Essa sequência claramente converge para 1. Agora, vamos escolher
. Assim, temos
, que está sempre menor ou igual a
.
Passo 5
Observamos que
oscila entre -1 e 1 e não se aproxima de nenhum número específico conforme
aumenta. Portanto,
não é convergente, mesmo satisfazendo
para todo
.
Resposta
F