Encontre a transformada de Laplace das funções abaixo:
f(t) = cosh(a t), a em R

Passo 1

Oi! Vamos resolver a transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades das transformadas de funções exponenciais e das funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno hiperbólico pode ser escrita em termos de exponenciais. A definição de é:
Isso facilita a aplicação da transformada de Laplace, já que conhecemos a transformada de funções exponenciais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace a cada termo da expressão de . Sabemos que:
onde k é uma constante e s é a variável da transformada.

Passo 4

Aplicando isso à nossa expressão, temos:
Substituindo as transformadas:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa expressão. Fazendo a soma das frações:
Simplificando:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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