Encontre a transformada de Laplace das funções abaixo:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função , onde é um número real. Vamos usar os conceitos de transformada de Laplace e as fórmulas básicas para resolver isso.

Passo 2

A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo para uma função de uma variável complexa . Ela é muito útil em resolver equações diferenciais. A definição da transformada de Laplace é:

Passo 3

Sabemos que a função hiperbólica seno, , pode ser escrita em termos de exponenciais:

Passo 4

Vamos aplicar a definição da transformada de Laplace à função :

Passo 5

Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 6

Calculamos cada integral:

Passo 7

Substituindo as integrais de volta:

Passo 8

Simplificamos a expressão:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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Resolva os PVIs abaixo, usando a transformada de Laplace.
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