Resolva os PVIs abaixo, usando a transformada de Laplace.
y^(4) - y = 0, y(0) = y''(0) = 0, y'(0) = y'''(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para resolver uma equação diferencial de quarta ordem usando a transformada de Laplace. Basicamente, temos a equação e algumas condições iniciais: e . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nos termos da equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial . Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada quarta de é , onde é a transformada de .

Passo 3

Aplicando a transformada na equação, temos:
Substituindo as condições iniciais , , e , a equação fica:
Simplificando:

Passo 4

Agora, isolamos :
Podemos fatorar o denominador como , então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace de . Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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