Resolva os PVIs abaixo, usando a transformada de Laplace.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Substituindo as transformadas das derivadas:
Agora, substituímos os valores das condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 4
Isolando
:
Passo 5
Agora, vamos decompor a fração para facilitar a aplicação da transformada inversa:
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 7
Somando todas as partes:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
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Use a tabela da transformada de Laplace para dizer qual é a função
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