Resolva os PVIs abaixo, usando a transformada de Laplace.
y'' + 2y' + y = 4e^(-t), y(0) = 2, y'(0) = -1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é:
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Substituindo as transformadas das derivadas:
Agora, substituímos os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 4

Isolando :

Passo 5

Agora, vamos decompor a fração para facilitar a aplicação da transformada inversa:
Então,

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 7

Somando todas as partes:
Podemos fatorar e^(-t) para simplificar:

Resposta

Exercícios relacionados