Encontre a transformada de Laplace das funções
(b) f(t) = { 0, t < 0; t, t ≥ 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função que é igual a 0 quando e igual a quando . Vamos usar conceitos de transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, lembra que a transformada de Laplace de uma função é definida por:
No nosso caso, para . Então, vamos aplicar essa fórmula.

Passo 3

Vamos substituir na integral:
Agora, precisamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de pode ser resolvida por integração por partes.

Passo 4

Aplicando a integração por partes, onde:
Então, a integral fica:
Resolvendo a segunda integral:

Passo 5

Substituindo de volta:
Agora, aplicando os limites de integração de 0 a :

Passo 6

Analisando os limites:
  • Quando , tende a 0, então o primeiro termo desaparece.
  • Quando , temos:
Então, a transformada fica:

Resposta

A transformada de Laplace de é .

Exercícios relacionados