Encontre a transformada de Laplace das funções
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função
que é igual a 0 quando
e igual a
quando
. Vamos usar conceitos de transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, lembra que a transformada de Laplace de uma função
é definida por:
No nosso caso,
para
. Então, vamos aplicar essa fórmula.
Passo 3
Vamos substituir
na integral:
Agora, precisamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de
pode ser resolvida por integração por partes.
Passo 4
Aplicando a integração por partes, onde:
Então, a integral fica:
Resolvendo a segunda integral:
Passo 5
Substituindo de volta:
Agora, aplicando os limites de integração de 0 a
:
Passo 6
Analisando os limites:
- Quando
, tende a 0, então o primeiro termo desaparece. - Quando
, temos:
Então, a transformada fica:
Resposta
A transformada de Laplace de
é
.