Encontre a transformada de Laplace das funções
© f(t) = { 0, t < 0; sen(t), t ≥ 0 }

Passo 1

Beleza! O exercício quer que a gente encontre a transformada de Laplace da função , que vale 0 quando e igual a quando . Estamos lidando com Transformadas de Laplace, que são super úteis pra resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar saber a definição da transformada de Laplace e como aplicar nas funções trigonométricas básicas, como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma mais simples usando a função de Heaviside . A função de Heaviside é igual a 0 quando e igual a 1 quando . Então, podemos expressar assim:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Como nossa função já está multiplicada pela função de Heaviside , que faz com que para , podemos usar diretamente essa definição.

Passo 4

Sabemos que a transformada de Laplace do seno é uma transformada padrão. Especificamente:
No nosso caso, a frequência é 1, então substituímos na fórmula:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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