Encontre a transformada de Laplace das funções
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Passo 1
Beleza! O exercício quer que a gente encontre a transformada de Laplace da função
, que vale 0 quando
e igual a quando
. Estamos lidando com Transformadas de Laplace, que são super úteis pra resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar saber a definição da transformada de Laplace e como aplicar nas funções trigonométricas básicas, como o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma mais simples usando a função de Heaviside
. A função de Heaviside é igual a 0 quando
e igual a 1 quando
. Então, podemos expressar
assim:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Como nossa função
já está multiplicada pela função de Heaviside
, que faz com que
para
, podemos usar diretamente essa definição.
Passo 4
Sabemos que a transformada de Laplace do seno é uma transformada padrão. Especificamente:
No nosso caso, a frequência
é 1, então substituímos na fórmula:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: