Calcule.
(q) integral(x+1) sen(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral . Esse exercício está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da função vamos derivar e integrar.

Passo 2

A integração por partes é uma técnica que vem da regra do produto da derivada. Ela é expressa pela fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

Vamos escolher:
  • u = x + 1 (porque derivar isso simplifica)
  • (então vamos integrar isso para encontrar dv = sen(2x) , dx)

Passo 4

Agora, vamos derivar u e integrar dv:
  • Derivando u: du = dfracddx(x + 1) , dx = 1 , dx
  • Integrando dv:

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
integral (x + 1) sen(2x) , dx = uv - integral v , du

Passo 6

Simplificando a expressão:
= -dfrac12 (x + 1) cos(2x) + dfrac12 integral cos(2x) , dx
Agora, vamos calcular a integral restante integral cos(2x) , dx.

Passo 7

Integrando cos(2x):
Onde integral cos(2x) , dx = dfrac12 sen(2x) + C é a constante de integração.

Passo 8

Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:

Resposta

Então, a integral é:

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