Encontre a solução do problema de valor inicial e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me passou é resolver uma equação diferencial de segunda ordem com uma condição inicial e uma função delta de Dirac. Isso está dentro do tópico de Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos funções como a delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
Com as condições iniciais:
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação.

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Lembrando que:
Onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas:

Passo 5

Agora, substituímos as condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 6

Fatorando :
Isolando :

Passo 7

Vamos simplificar o denominador . Para isso, completamos o quadrado:
Então:

Passo 8

Agora, vamos usar a propriedade da Transformada de Laplace para deslocamento no tempo, que diz:
Comparando com nossa , identificamos que:
Portanto, a solução no domínio do tempo será:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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