Encontre a solução do problema de valor inicial
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você me passou é resolver uma equação diferencial de segunda ordem com uma condição inicial e uma função delta de Dirac. Isso está dentro do tópico de Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos funções como a delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
Com as condições iniciais:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação.
Passo 3
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Lembrando que:
Onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 4
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 5
Agora, substituímos as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 6
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 7
Vamos simplificar o denominador
. Para isso, completamos o quadrado:
Então:
Passo 8
Agora, vamos usar a propriedade da Transformada de Laplace para deslocamento no tempo, que diz:
Comparando com nossa
, identificamos que:
Portanto, a solução no domínio do tempo será:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: