Encontre a transformada em seno de:
f(x)=x e^-a x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada em seno da função . Isso envolve conceitos de transformadas integrais, especificamente a transformada de seno. Para isso, vamos precisar usar integrais e propriedades das funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de seno. A transformada de seno de uma função Fsf(x) = integral0^infty f(x) sin(wx) , dx é dada pela integral:
No nosso caso, , então vamos substituir na fórmula.

Passo 3

Substituindo Fsx e^-a x = integral0^infty x e^-a x sin(wx) , dx na integral, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 4

Para resolver a integral integral0^infty x e^-a x sin(bx) , dx = 2 a b(a^2 + b^2)^2 , vamos usar uma fórmula padrão de integrais. Sabemos que:
Aqui, é igual a .

Passo 5

Aplicando a fórmula com integral0^infty x e^-a x sin(wx) , dx = 2 a w(a^2 + w^2)^2 , temos:

Resposta

A transformada em seno de Fsx e^-a x = 2 a w(a^2 + w^2)^2 é:

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