Considere o mesmo oscilador harmônico amortecido do problema anterior, porém com a força externa dada por:
Sendo
, encontre
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um oscilador harmônico amortecido com uma força externa específica:
. A gente precisa encontrar a posição
desse oscilador quando
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e força externa em sistemas oscilatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento desse oscilador amortecido com força externa. A equação geral é:
Aqui,
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento, e
é a constante elástica.
Passo 3
Vamos simplificar essa equação usando os parâmetros naturais do sistema:
- Frequência natural:
- Coeficiente de amortecimento:
Substituindo na equação, fica:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial não homogênea. Ela tem duas partes: a solução da equação homogênea (sem a força externa) e uma solução particular que leva em conta a força externa.
Passo 5
A solução geral é a soma dessas duas soluções:
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea:
Passo 6
Resolvendo a equação homogênea, encontramos a solução:
Onde
e
,
são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a solução particular. Dado que a força externa é
, uma abordagem é usar a transformada de Laplace para resolver a equação.
Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial, temos:
Passo 8
Calculando a transformada de
, sabemos que:
Então, temos:
Passo 9
Para encontrar
, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace. Essa integral pode ser complexa, mas considerando que
e
, podemos simplificar a expressão usando coeficientes parciais e tabelas de transformadas.
Após realizar os cálculos, obtemos a solução particular.
Passo 10
Somando as soluções homogênea e particular, a solução geral é:
Resposta
A posição do oscilador em função do tempo é: