Considere o mesmo oscilador harmônico amortecido do problema anterior, porém com a força externa dada por:
f(t)=f0 sen(lambda t)t
Sendo lambda>w, encontre x(t) para w0>alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um oscilador harmônico amortecido com uma força externa específica: . A gente precisa encontrar a posição desse oscilador quando e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e força externa em sistemas oscilatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o movimento desse oscilador amortecido com força externa. A equação geral é:
m d^2xdt^2 + gamma dxdt + kx = f(t)
Aqui, é a massa, é o coeficiente de amortecimento, e é a constante elástica.

Passo 3

Vamos simplificar essa equação usando os parâmetros naturais do sistema:
  • Frequência natural: d^2xdt^2 + 2alpha dxdt + omega0^2 x = f0m sin(lambda t)t
  • Coeficiente de amortecimento:
Substituindo na equação, fica:

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial não homogênea. Ela tem duas partes: a solução da equação homogênea (sem a força externa) e uma solução particular que leva em conta a força externa.

Passo 5

A solução geral é a soma dessas duas soluções:
x(t) = xhomogênea(t) + xparticular(t) ê
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea:
d^2xdt^2 + 2alpha dxdt + omega0^2 x = 0

Passo 6

Resolvendo a equação homogênea, encontramos a solução:
xhomogênea(t) = e^-alpha t ( A cos(omega' t) + B sin(omega' t) ) ê
Onde e , são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a solução particular. Dado que a força externa é (s^2 + 2alpha s + omega0^2) X(s) = f0m L sin(lambda t)t , uma abordagem é usar a transformada de Laplace para resolver a equação.
Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial, temos:

Passo 8

Calculando a transformada de L sin(lambda t)t = arctan(lambdas) , sabemos que:
X(s) = f0m arctan(lambdas)s^2 + 2alpha s + omega0^2
Então, temos:

Passo 9

Para encontrar , precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace. Essa integral pode ser complexa, mas considerando que e , podemos simplificar a expressão usando coeficientes parciais e tabelas de transformadas.
Após realizar os cálculos, obtemos a solução particular.

Passo 10

Somando as soluções homogênea e particular, a solução geral é:
x(t) = e^-alpha t ( A cos(omega' t) + B sin(omega' t) ) + f0m integral0^t e^-alpha (t - tau) sin(lambda tau)tau dtau

Resposta

A posição do oscilador em função do tempo é:
x(t) = e^-alpha t ( A cos(omega' t) + B sin(omega' t) ) + f0m integral0^t e^-alpha (t - tau) sin(lambda tau)tau dtau

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