Encontre a transformada em seno de:
f(x)=e^-x cos x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada em seno da função . Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Fourier, especificamente a Transformada de Seno. Vamos precisar entender a definição dessa transformada e como aplicá-la nessa função que combina uma exponencial com um cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Seno. A transformada de seno de uma função Fs(omega) = raiz2pi integral0^infty f(x) sin(omega x) , dx é dada por:
Isso significa que a gente vai multiplicar nossa função por e integrar de 0 a infinito, tudo isso multiplicado por aquele fator .

Passo 3

Agora, vamos substituir Fs(omega) = raiz2pi integral0^infty e^-x cos x cdot sin(omega x) , dx na fórmula. Temos:
Isso nos dá a integral que precisamos resolver.

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a multiplicação de cosseno e seno. A identidade é:
cos x cdot sin(omega x) = 12 [sin(omega x + x) + sin(omega x - x)]
Aplicando essa identidade na nossa integral:
Fs(omega) = raiz2pi cdot 12 integral0^infty e^-x [sin((omega + 1)x) + sin((omega - 1)x)] , dx

Passo 5

Agora, podemos separar a integral em duas partes:
Fs(omega) = raiz2pi cdot 12 ( integral0^infty e^-x sin((omega + 1)x) , dx + integral0^infty e^-x sin((omega - 1)x) , dx )

Passo 6

Sabemos que a integral da forma integral0^infty e^-x sin((omega + 1)x) , dx = omega + 11 + (omega + 1)^2 é igual a integral0^infty e^-x sin((omega - 1)x) , dx = omega - 11 + (omega - 1)^2 . Vamos aplicar isso às nossas integrais, onde e na primeira, e na segunda:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de Fs(omega) = raiz2pi cdot 12 ( omega + 11 + (omega + 1)^2 + omega - 11 + (omega - 1)^2 ) :

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Fs(omega) = raiz2pi cdot 12 ( omega + 1omega^2 + 2omega + 2 + omega - 1omega^2 - 2omega + 2 )

Resposta

A transformada em seno de Fs(omega) = 1raiz2pi ( omega + 1omega^2 + 2omega + 2 + omega - 1omega^2 - 2omega + 2 ) é:

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