Encontre a transformada em seno de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada em seno da função . Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Fourier, especificamente a Transformada de Seno. Vamos precisar entender a definição dessa transformada e como aplicá-la nessa função que combina uma exponencial com um cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Seno. A transformada de seno de uma função é dada por:
Isso significa que a gente vai multiplicar nossa função por e integrar de 0 a infinito, tudo isso multiplicado por aquele fator .

Passo 3

Agora, vamos substituir na fórmula. Temos:
Isso nos dá a integral que precisamos resolver.

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a multiplicação de cosseno e seno. A identidade é:
Aplicando essa identidade na nossa integral:

Passo 5

Agora, podemos separar a integral em duas partes:

Passo 6

Sabemos que a integral da forma é igual a . Vamos aplicar isso às nossas integrais, onde e na primeira, e na segunda:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:

Resposta

A transformada em seno de é:

Exercícios relacionados

Encontre a transformada em seno de:
Duas baterias de f.e.m. e resistência e respectivamente estão ligadas em paralelo. Mostre que a f.e.m. efetiva dessa combinação é onde .
Considere o mesmo oscilador harmônico amortecido do problema anterior, porém com a força externa dada por:
Sendo , encontre para .
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