Encontre a transformada em seno de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada em seno da função
. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Fourier, especificamente a Transformada de Seno. Vamos precisar entender a definição dessa transformada e como aplicá-la nessa função que combina uma exponencial com um cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Seno. A transformada de seno de uma função
é dada por:
Isso significa que a gente vai multiplicar nossa função
por
e integrar de 0 a infinito, tudo isso multiplicado por aquele fator
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na fórmula. Temos:
Isso nos dá a integral que precisamos resolver.
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a multiplicação de cosseno e seno. A identidade é:
Aplicando essa identidade na nossa integral:
Passo 5
Agora, podemos separar a integral em duas partes:
Passo 6
Sabemos que a integral da forma
é igual a
. Vamos aplicar isso às nossas integrais, onde
e
na primeira, e
na segunda:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Resposta
A transformada em seno de
é:
Exercícios relacionados
Encontre a transformada em seno de:
Duas baterias de f.e.m. e resistência
e
respectivamente estão ligadas em paralelo. Mostre que a f.e.m. efetiva dessa combinação é
onde
.
Considere o mesmo oscilador harmônico amortecido do problema anterior, porém com a força externa dada por:
Sendo
, encontre
para
.
Encontre a transformada em seno de: