Encontre o valor médio de f(x, y) = x^2 + 7y no retângulo [0,3] x [0,6]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar o valor médio da função no retângulo definido por . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de integrais duplas para achar o valor médio de uma função em uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função em uma região. A fórmula é:
éÁã
Isso significa que a gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que aqui é o retângulo , e depois dividir pelo tamanho dessa região.

Passo 3

Vamos calcular a \emph{área} do retângulo . A área de um retângulo é base vezes altura, então:
Á

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla de sobre o retângulo . Para isso, a gente integra primeiro em relação a de 0 a 3 e depois em relação a de 0 a 6:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral interna fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar isso em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral dupla é:

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula do valor médio:
é

Resposta

O valor médio de no retângulo é 24.

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