A região entre as curvas
e
é rotacionada em torno do eixo
para formar um sólido. Quantas integrais temos que resolver por cada método? Escolha o método que achar mais apropriado e calcule o volume do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas curvas dadas por
e
, além da reta
. A gente precisa encontrar a região formada por essas curvas e depois imaginar essa região girando em torno do eixo
. O objetivo é calcular o volume desse sólido gerado. Para isso, vamos usar o cálculo de volumes por métodos de rotação, especificamente os métodos dos discos/aneles ou das cascas cilíndricas. Vamos precisar entender um pouquinho sobre integração e geometria de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região que estamos analisando. As curvas são
e
. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo:
Isso nos mostra que as duas curvas nunca se encontram. Porém, consideramos também a reta
. Vamos visualizar isso: a curva
é uma parábola que abre para a direita, e
é a mesma parábola deslocada 2 unidades para a esquerda. A interseção com
nos dá os pontos onde
intersecta as parábolas:
Para
:
Para
:
Então, a região está limitada entre
e
no eixo
, e entre
e onde as parábolas encontram essas restrições.
Passo 3
Agora, vamos escolher o método mais apropriado para calcular o volume. Podemos usar:
- Método dos Discos/Anéis: Integramos em relação ao eixo
. - Método das Cascas Cilíndricas: Integramos em relação ao eixo
.
Vamos optar pelo Método dos Discos/Anéis porque estamos rotacionando em torno do eixo
, e as funções estão bem expressas em termos de
.
Passo 4
No Método dos Discos/Anéis, o volume é calculado pela integral:
Onde
é a função mais externa em relação ao eixo de rotação e
a mais interna. No nosso caso,
e
. Os limites de integração
e
são os valores de
que delimitam a região, que aqui são de 0 a alguma altura
.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. Como estamos entre
e as parábolas não se encontram, precisamos definir até onde
varia. Observando as curvas, vemos que para
ser igual a
,
. Então, o intervalo de
é de 0 a onde
atinge o limite
, que também é
. Isso indica que a região é apenas um retângulo limitado entre
e
no eixo
. Mas para um volume significativo, consideramos simetria e estendemos o intervalo para valores positivos e negativos de
. Vamos considerar
variando de
a
para cobrir toda a região.
Passo 6
Agora, configuramos a integral:
Simplificando as expressões dentro da integral:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Integramos termo a termo:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Multiplicando por
:
Como o volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido é
.