A região entre as curvas x = y^2 - 2, x = y^2 e y = 0 é rotacionada em torno do eixo x para formar um sólido. Quantas integrais temos que resolver por cada método? Escolha o método que achar mais apropriado e calcule o volume do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas curvas dadas por e , além da reta . A gente precisa encontrar a região formada por essas curvas e depois imaginar essa região girando em torno do eixo . O objetivo é calcular o volume desse sólido gerado. Para isso, vamos usar o cálculo de volumes por métodos de rotação, especificamente os métodos dos discos/aneles ou das cascas cilíndricas. Vamos precisar entender um pouquinho sobre integração e geometria de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região que estamos analisando. As curvas são e . Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo:
Isso nos mostra que as duas curvas nunca se encontram. Porém, consideramos também a reta . Vamos visualizar isso: a curva é uma parábola que abre para a direita, e é a mesma parábola deslocada 2 unidades para a esquerda. A interseção com nos dá os pontos onde intersecta as parábolas:
Para :
Para :
Então, a região está limitada entre e no eixo , e entre e onde as parábolas encontram essas restrições.

Passo 3

Agora, vamos escolher o método mais apropriado para calcular o volume. Podemos usar:
  1. Método dos Discos/Anéis: Integramos em relação ao eixo .
  2. Método das Cascas Cilíndricas: Integramos em relação ao eixo .
Vamos optar pelo Método dos Discos/Anéis porque estamos rotacionando em torno do eixo , e as funções estão bem expressas em termos de .

Passo 4

No Método dos Discos/Anéis, o volume é calculado pela integral:
Onde é a função mais externa em relação ao eixo de rotação e a mais interna. No nosso caso, e . Os limites de integração e são os valores de que delimitam a região, que aqui são de 0 a alguma altura .

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Como estamos entre e as parábolas não se encontram, precisamos definir até onde varia. Observando as curvas, vemos que para ser igual a , . Então, o intervalo de é de 0 a onde atinge o limite , que também é . Isso indica que a região é apenas um retângulo limitado entre e no eixo . Mas para um volume significativo, consideramos simetria e estendemos o intervalo para valores positivos e negativos de . Vamos considerar variando de a para cobrir toda a região.

Passo 6

Agora, configuramos a integral:
Simplificando as expressões dentro da integral:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Integramos termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
Multiplicando por :
Como o volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido é .

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