Encontre o valor médio de
no retângulo
.
Passo 1
Beleza, a gente precisa encontrar o valor médio da função
dentro do retângulo definido pelos intervalos
em
e
em
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular valores médios em regiões bidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função sobre uma determinada região. O valor médio
é dado pela integral da função sobre a região dividida pela área dessa região. A fórmula fica assim:
No nosso caso, a região
é o retângulo
.
Passo 3
Vamos calcular a área do retângulo primeiro. A área
de um retângulo é o produto da largura pela altura:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla da função
sobre o retângulo
:
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral externa em relação a
:
Passo 7
Finalmente, calculamos o valor médio dividindo a integral total pela área do retângulo:
Resposta
O valor médio de
no retângulo
é 48.