Encontre o valor médio de f(x, y) = x * y^2 no retângulo [0,8] x [0,6].

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar o valor médio da função dentro do retângulo definido pelos intervalos em e em . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular valores médios em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função sobre uma determinada região. O valor médio é é dado pela integral da função sobre a região dividida pela área dessa região. A fórmula fica assim:
éÁ
No nosso caso, a região é o retângulo .

Passo 3

Vamos calcular a área do retângulo primeiro. A área de um retângulo é o produto da largura pela altura:
Á

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla da função sobre o retângulo :

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, resolvemos a integral externa em relação a :

Passo 7

Finalmente, calculamos o valor médio dividindo a integral total pela área do retângulo:
é

Resposta

O valor médio de no retângulo é 48.

Exercícios relacionados