Dada a função
Esta função é contínua para
? Justifique sua resposta utilizando a Definição 3.8 da apostila.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre continuidade de funções. A gente tem uma função definida por partes:
Queremos saber se essa função é contínua em
. Para isso, vamos usar a Definição 3.8 da apostila, que fala sobre continuidade de funções em um ponto. Vamos precisar entender os limites laterais e o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Segundo a definição, uma função
é contínua em
se três condições forem atendidas:
- A função está definida em
, ou seja, existe. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
Primeiro, vamos ver se a função está definida em
. Olhando a definição da função, para
,
. Então, substituindo
:
Então,
existe e vale 4.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pelo lado esquerdo (
) e pelo lado direito (
).
Para
(valores menores que 1), usamos a parte
:
Para
(valores maiores que 1), usamos a parte
:
Como os limites laterais são iguais e valem 4, o limite geral de
quando
se aproxima de 1 existe e é igual a 4.
Passo 5
Por fim, comparamos o limite de
em
com o valor da função nesse ponto:
Como os dois são iguais, todas as condições para a continuidade são satisfeitas.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Dada a função
Esta função é contínua para
? Justifique sua resposta utilizando a Definição 3.8 da apostila.
Encontre o valor médio da função
na região anular
, onde
.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.