Dada a função
f(x) = { x + 3, se x <= 1; 4, se x > 1 }
Esta função é contínua para x = 1 ? Justifique sua resposta utilizando a Definição 3.8 da apostila.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre continuidade de funções. A gente tem uma função definida por partes:
Queremos saber se essa função é contínua em . Para isso, vamos usar a Definição 3.8 da apostila, que fala sobre continuidade de funções em um ponto. Vamos precisar entender os limites laterais e o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Segundo a definição, uma função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. A função está definida em , ou seja, existe.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

Primeiro, vamos ver se a função está definida em . Olhando a definição da função, para , . Então, substituindo :
Então, existe e vale 4.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pelo lado esquerdo ( ) e pelo lado direito ( ).
Para (valores menores que 1), usamos a parte :
Para (valores maiores que 1), usamos a parte :
Como os limites laterais são iguais e valem 4, o limite geral de quando se aproxima de 1 existe e é igual a 4.

Passo 5

Por fim, comparamos o limite de em com o valor da função nesse ponto:
Como os dois são iguais, todas as condições para a continuidade são satisfeitas.

Resposta

Sim, a função é contínua em .

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