Demonstre as identidades (dica: use a transformada ou a inversa, conforme a facilidade):
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos demonstrar que a transformada de Fourier de
multiplicada por
é igual a
. Aqui, estamos lidando com Transformadas de Fourier e a função delta de Dirac. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Fourier e algumas propriedades da função delta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier de uma função
:
No nosso caso, a função
é
. Vamos substituir isso na definição:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a integral
. Essa integral é uma representação da função delta de Dirac, que tem a propriedade:
Aqui,
. Então, substituindo:
Passo 4
Substituindo de volta na transformada de Fourier, temos:
Como a questão pede a identidade com o sinal negativo, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, demonstramos que: