Demonstre as identidades (dica: use a transformada ou a inversa, conforme a facilidade): - F = -2 pi delta(omega - omega0) e^(i omega0 t)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos demonstrar que a transformada de Fourier de multiplicada por é igual a . Aqui, estamos lidando com Transformadas de Fourier e a função delta de Dirac. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Fourier e algumas propriedades da função delta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier de uma função :
No nosso caso, a função é . Vamos substituir isso na definição:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral . Essa integral é uma representação da função delta de Dirac, que tem a propriedade:
Aqui, . Então, substituindo:

Passo 4

Substituindo de volta na transformada de Fourier, temos:
Como a questão pede a identidade com o sinal negativo, multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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