Encontre o valor de o valor médio de v², usando a distribuição de velocidades de Maxwell.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrarmos o valor médio de usando a distribuição de velocidades de Maxwell. Isso está no campo da Termodinâmica e Física Estatística. Para resolver isso, vamos precisar entender como a distribuição de Maxwell descreve as velocidades das partículas em um gás e como calcular médias com essa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a distribuição de velocidades de Maxwell. Ela nos dá a probabilidade de encontrar partículas com uma certa velocidade em um gás ideal. A fórmula dessa distribuição em três dimensões é:
Aqui, é a massa da partícula, é a constante de Boltzmann e é a temperatura.

Passo 3

Queremos encontrar o valor médio de , que matematicamente é representado por . Isso significa que precisamos calcular a integral de vezes a função de distribuição :

Passo 4

Vamos substituir na integral:
Simplificando, temos:

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos uma fórmula de integração padrão:
Onde é a função gama. No nosso caso, e .

Passo 6

Aplicando a fórmula, temos:
Sabemos que .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 8

Vamos simplificar os termos:
Simplificando as potências:

Passo 9

Ainda simplificando:

Resposta

O valor médio de é .

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Encontre o valor médio de v, usando a distribuição de velocidades de Maxwell.