Encontre o valor de o valor médio de v², usando a distribuição de velocidades de Maxwell.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrarmos o valor médio de usando a distribuição de velocidades de Maxwell. Isso está no campo da Termodinâmica e Física Estatística. Para resolver isso, vamos precisar entender como a distribuição de Maxwell descreve as velocidades das partículas em um gás e como calcular médias com essa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a distribuição de velocidades de Maxwell. Ela nos dá a probabilidade de encontrar partículas com uma certa velocidade f(v) = raiz(2pi) (mkT)^3/2 v^2 e^-mv^22kT em um gás ideal. A fórmula dessa distribuição em três dimensões é:
Aqui, é a massa da partícula, é a constante de Boltzmann e é a temperatura.

Passo 3

Queremos encontrar o valor médio de lang<= v^2 rang<= = integral0^infty v^2 f(v) , dv , que matematicamente é representado por . Isso significa que precisamos calcular a integral de vezes a função de distribuição :

Passo 4

Vamos substituir lang<= v^2 rang<= = integral0^infty v^2 raiz(2pi) (mkT)^3/2 v^2 e^-mv^22kT , dv na integral:
lang<= v^2 rang<= = raiz(2pi) (mkT)^3/2 integral0^infty v^4 e^-mv^22kT , dv
Simplificando, temos:

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos uma fórmula de integração padrão:
integral0^infty v^n e^-a v^2 , dv = 12 a^-n+12 Gamma(n+12)
Onde é a função gama. No nosso caso, e .

Passo 6

Aplicando a fórmula, temos:
integral0^infty v^4 e^-mv^22kT , dv = 12 (m2kT)^-52 Gamma(52)
Sabemos que .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para lang<= v^2 rang<= = raiz(2pi) (mkT)^3/2 cdot 12 (m2kT)^-52 cdot 3raizpi4 :

Passo 8

Vamos simplificar os termos:
lang<= v^2 rang<= = raiz(2pi) cdot 12 cdot 3raizpi4 cdot (mkT)^3/2 cdot (2kTm)^5/2
Simplificando as potências:
lang<= v^2 rang<= = 34 raiz2pi raizpi cdot (2kTm)

Passo 9

Ainda simplificando:
lang<= v^2 rang<= = 34 cdot raiz2 cdot (2kTm)
lang<= v^2 rang<= = 34 cdot 2 cdot (2kTm)
lang<= v^2 rang<= = 32 cdot (2kTm) = 3kTm

Resposta

O valor médio de é .

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