Encontre o valor de o valor médio de v², usando a distribuição de velocidades de Maxwell.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrarmos o valor médio de
usando a distribuição de velocidades de Maxwell. Isso está no campo da Termodinâmica e Física Estatística. Para resolver isso, vamos precisar entender como a distribuição de Maxwell descreve as velocidades das partículas em um gás e como calcular médias com essa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a distribuição de velocidades de Maxwell. Ela nos dá a probabilidade de encontrar partículas com uma certa velocidade
em um gás ideal. A fórmula dessa distribuição em três dimensões é:
Aqui,
é a massa da partícula,
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura.
Passo 3
Queremos encontrar o valor médio de
, que matematicamente é representado por
. Isso significa que precisamos calcular a integral de
vezes a função de distribuição
:
Passo 4
Vamos substituir
na integral:
Simplificando, temos:
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos uma fórmula de integração padrão:
Onde
é a função gama. No nosso caso,
e
.
Passo 6
Aplicando a fórmula, temos:
Sabemos que
.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 8
Vamos simplificar os termos:
Simplificando as potências:
Passo 9
Ainda simplificando:
Resposta
O valor médio de
é
.