Encontre o valor médio de v, usando a distribuição de velocidades de Maxwell.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui uma questão que pede para encontrar o valor médio da velocidade
usando a distribuição de velocidades de Maxwell. Basicamente, isso faz parte da física dos gases e da estatística, onde sabemos como as moléculas de um gás se movem. Vamos precisar entender a fórmula da distribuição de Maxwell e como calcular o valor médio a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão da distribuição de velocidades de Maxwell. Ela nos dá a probabilidade de encontrar partículas com uma certa velocidade
em um gás ideal. A fórmula é:
Onde:
-
é a massa da molécula, -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura absoluta.
Passo 3
O valor médio da velocidade, ou seja, a velocidade média
, é calculado integrando
multiplicado pela distribuição de Maxwell sobre todas as velocidades possíveis. Matemáticamente, isso fica assim:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da distribuição de Maxwell para facilitar a integração. Sabemos que:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Agora, substituindo
na integral do valor médio:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar. Deixe
. Então,
Substituindo na integral:
Mas, lembrando que
, então
. Substituindo:
Passo 7
Sabemos que
. Portanto, a integral simplifica para:
Passo 8
Voltando �� expressão do valor médio:
Simplificando os termos:
Passo 9
Finalmente, juntando tudo:
Resposta
O valor médio da velocidade
é:
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