Encontre o valor médio de v, usando a distribuição de velocidades de Maxwell.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui uma questão que pede para encontrar o valor médio da velocidade usando a distribuição de velocidades de Maxwell. Basicamente, isso faz parte da física dos gases e da estatística, onde sabemos como as moléculas de um gás se movem. Vamos precisar entender a fórmula da distribuição de Maxwell e como calcular o valor médio a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão da distribuição de velocidades de Maxwell. Ela nos dá a probabilidade de encontrar partículas com uma certa velocidade em um gás ideal. A fórmula é:
Onde:
  • é a massa da molécula,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura absoluta.

Passo 3

O valor médio da velocidade, ou seja, a velocidade média , é calculado integrando multiplicado pela distribuição de Maxwell sobre todas as velocidades possíveis. Matemáticamente, isso fica assim:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da distribuição de Maxwell para facilitar a integração. Sabemos que:
Podemos reescrever isso como:

Passo 5

Agora, substituindo na integral do valor médio:

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar. Deixe . Então,
Substituindo na integral:
Mas, lembrando que , então . Substituindo:

Passo 7

Sabemos que . Portanto, a integral simplifica para:

Passo 8

Voltando �� expressão do valor médio:
Simplificando os termos:

Passo 9

Finalmente, juntando tudo:

Resposta

O valor médio da velocidade é:

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Encontre o valor de o valor médio de v², usando a distribuição de velocidades de Maxwell.
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