Encontre o valor médio de v, usando a distribuição de velocidades de Maxwell.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui uma questão que pede para encontrar o valor médio da velocidade usando a distribuição de velocidades de Maxwell. Basicamente, isso faz parte da física dos gases e da estatística, onde sabemos como as moléculas de um gás se movem. Vamos precisar entender a fórmula da distribuição de Maxwell e como calcular o valor médio a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão da distribuição de velocidades de Maxwell. Ela nos dá a probabilidade de encontrar partículas com uma certa velocidade f(v) = raiz(2pi) v^2 e^-mv^22kT(kT/m)^3/2 em um gás ideal. A fórmula é:
Onde:
  • é a massa da molécula,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura absoluta.

Passo 3

O valor médio da velocidade, ou seja, a velocidade média lang<= v rang<= = integral0^infty v cdot f(v) , dv , é calculado integrando multiplicado pela distribuição de Maxwell sobre todas as velocidades possíveis. Matemáticamente, isso fica assim:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da distribuição de Maxwell para facilitar a integração. Sabemos que:
f(v) = raiz(2pi) v^2 e^-mv^22kT(kT/m)^3/2
Podemos reescrever isso como:
f(v) = raiz(2pi) (mkT)^3/2 v^2 e^-mv^22kT

Passo 5

Agora, substituindo lang<= v rang<= = raiz(2pi) (mkT)^3/2 integral0^infty v^3 e^-mv^22kT , dv na integral do valor médio:

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar. Deixe dx = mvkT dv Rightarrow dv = kTmv dx . Então,
integral0^infty v^3 e^-x cdot kTmv dx = kTm integral0^infty v^2 e^-x dx
Substituindo na integral:
kTm integral0^infty 2kTm x e^-x dx = 2(kT)^2m^2 integral0^infty x e^-x dx
Mas, lembrando que , então . Substituindo:

Passo 7

Sabemos que 2(kT)^2m^2 . Portanto, a integral simplifica para:

Passo 8

Voltando �� expressão do valor médio:
lang<= v rang<= = raiz(2pi) (mkT)^3/2 cdot 2(kT)^2m^2 = raiz(2pi) cdot 2(kT)^2m^2 cdot (mkT)^3/2
Simplificando os termos:
lang<= v rang<= = raiz(2pi) cdot 2 (kTm)^1/2

Passo 9

Finalmente, juntando tudo:
lang<= v rang<= = raiz(8kTpi m)

Resposta

O valor médio da velocidade lang<= v rang<= = raiz8kTpi m é:

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