Encontre o valor mais provável para a velocidadev, usando a distribuição velocidades de Maxwell, que mostra o número de partículas com velocidade entre v e v+dv, que pode ser escrita conforme a expressão:
n(v) d v=4 pi N(m2 pi kB T)^32 v^2 e^-m v^2 / 2 kB T d v

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício sobre a distribuição de velocidades de Maxwell. Basicamente, a pergunta é para encontrar a velocidade mais provável das partículas numa determinada situação térmica. Para isso, vamos precisar entender um pouco de física estatística, especialmente como a velocidade das partículas se distribui em um gás. Vamos usar a fórmula da distribuição de Maxwell que nos ajuda a calcular quantas partículas têm uma certa velocidade em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a fórmula da distribuição de Maxwell que foi dada:
n(v) , dv = 4 pi N ( m2 pi kB T )^32 v^2 e^-m v^22 kB T , dv
Aqui, representa o número de partículas com velocidades entre e , é a massa das partículas, é a constante de Boltzmann, é a temperatura, e é o número total de partículas.

Passo 3

Para encontrar a velocidade mais provável, queremos encontrar o valor de que maximiza . Ou seja, precisamos encontrar o ponto onde a derivada de em relação a é zero. Isso nos dará o valor de onde o número de partículas é máximo.

Passo 4

Vamos derivar n(v) = 4 pi N ( m2 pi kB T )^32 v^2 e^-m v^22 kB T em relação a d n(v)d v = 4 pi N ( m2 pi kB T )^32 ( 2v e^-m v^22 kB T + v^2 cdot ( -m vkB T ) e^-m v^22 kB T ) :
Primeiro, simplificando a expressão:
d n(v)d v = 4 pi N ( m2 pi kB T )^32 v e^-m v^22 kB T ( 2 - m v^2kB T )
Agora, derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto máximo:
4 pi N ( m2 pi kB T )^32 v e^-m v^22 kB T ( 2 - m v^2kB T ) = 0
Como os termos multiplicados não são zero, a parte que nos interessa é:
2 - m v^2kB T = 0
Resolvendo para m v^2kB T = 2 :
v^2 = 2 kB Tm
v = raiz2 kB Tm

Resposta

A velocidade mais provável v = raiz2 kB Tm é:

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