Encontre um valor de tal que a equação Diofantina tenha exatamente 9 soluções com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um número inteiro tal que a equação diofantina tenha exatamente 9 soluções onde e são números naturais ( ). Aqui, estamos trabalhando com equações lineares diofantinas, que envolvem encontrar soluções inteiras para as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma solução na forma . Isso quer dizer que e devem ser números naturais positivos (1, 2, 3, …). Nossa missão é encontrar valores de e que satisfaçam a equação para um determinado .

Passo 3

Como e são números primos entre si (ou seja, o máximo divisor comum deles é 1), sabemos que para cada suficientemente grande, haverá soluções para a equação . Nosso foco é encontrar o que faz exatamente 9 dessas soluções.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para isolar :
Para que seja um número natural, precisa ser divisível por 10 e resultar em um número positivo. Ou seja:

Passo 5

A condição significa que e deixam o mesmo resto quando divididos por 10. Como , podemos simplificar:
O que nos diz que deve ser congruente a módulo 10.

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de valores possíveis para . Como , temos:
Então, pode variar de 1 até , onde representa a parte inteira.

Passo 7

Queremos exatamente 9 soluções para que satisfazem dentro desse intervalo. Isso significa que existem 9 números entre 1 e que têm o mesmo resto que quando divididos por 10.

Passo 8

Para ter 9 soluções, o intervalo deve conter 9 múltiplos de 10 mais o resto fixo que impõe. Portanto, o tamanho desse intervalo deve ser tal que:
Multiplicando ambos os lados por 11, obtemos .

Passo 9

Vamos testar . Substituindo na equação:
Isolando :
Para ser natural, deve ser divisível por 10 e positivo.

Passo 10

Vamos encontrar os valores de que satisfazem essas condições:
Então, pode ser 10, 20, 30, …, até que .

Passo 11

Calculando:
ãé
Portanto, os valores válidos de são de 10 a 80, de 10 em 10, totalizando 8 soluções, o que não atende à nossa necessidade de 9 soluções.

Passo 12

A diferença de uma solução indica que precisamos ajustar para obter exatamente 9 soluções. Vamos tentar :
Isolando :
Condições:
Valores de : 10, 20, …, 90
Calculando:
ãé
Aqui, temos 9 soluções válidas ( a ).

Resposta

Portanto, o valor de que satisfaz a condição é .

Exercícios relacionados

Mostre que não existem três primos ímpares consecutivos além de
Estenda a definição de para definir . Mostre que
Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.
Quantos minutos atrasará em 72 horas?
Mostre que nunca é um cubo, para todo .