Encontre um valor de
tal que a equação Diofantina
tenha exatamente 9 soluções com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um número inteiro
tal que a equação diofantina
tenha exatamente 9 soluções onde
e
são números naturais (
). Aqui, estamos trabalhando com equações lineares diofantinas, que envolvem encontrar soluções inteiras para as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma solução na forma
. Isso quer dizer que
e
devem ser números naturais positivos (1, 2, 3, …). Nossa missão é encontrar valores de
e
que satisfaçam a equação para um determinado
.
Passo 3
Como
e
são números primos entre si (ou seja, o máximo divisor comum deles é 1), sabemos que para cada
suficientemente grande, haverá soluções para a equação
. Nosso foco é encontrar o
que faz exatamente 9 dessas soluções.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para isolar
:
Para que
seja um número natural,
precisa ser divisível por 10 e resultar em um número positivo. Ou seja:
Passo 5
A condição
significa que
e
deixam o mesmo resto quando divididos por 10. Como
, podemos simplificar:
O que nos diz que
deve ser congruente a
módulo 10.
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de valores possíveis para
. Como
, temos:
Então,
pode variar de 1 até
, onde
representa a parte inteira.
Passo 7
Queremos exatamente 9 soluções para
que satisfazem
dentro desse intervalo. Isso significa que existem 9 números entre 1 e
que têm o mesmo resto que
quando divididos por 10.
Passo 8
Para ter 9 soluções, o intervalo
deve conter 9 múltiplos de 10 mais o resto fixo que
impõe. Portanto, o tamanho desse intervalo deve ser tal que:
Multiplicando ambos os lados por 11, obtemos
.
Passo 9
Vamos testar
. Substituindo na equação:
Isolando
:
Para
ser natural,
deve ser divisível por 10 e positivo.
Passo 10
Vamos encontrar os valores de
que satisfazem essas condições:
Então,
pode ser 10, 20, 30, …, até que
.
Passo 11
Calculando:
Portanto, os valores válidos de
são de 10 a 80, de 10 em 10, totalizando 8 soluções, o que não atende à nossa necessidade de 9 soluções.
Passo 12
A diferença de uma solução indica que precisamos ajustar
para obter exatamente 9 soluções. Vamos tentar
:
Isolando
:
Condições:
Valores de
: 10, 20, …, 90
Calculando:
Aqui, temos 9 soluções válidas (
a
).
Resposta
Portanto, o valor de
que satisfaz a condição é
.
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