Mostre que
nunca é um cubo, para todo
.
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte problema: mostrar que
nunca é um cubo para todo número natural
. Aqui, estamos lidando com potências de 2 e números cubos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre como as potências funcionam e algumas propriedades básicas dos números cubos.
Passo 2
Vamos começar imaginando que existe algum número natural
tal que
seja exatamente um cubo de outro número natural. Ou seja, vamos supor que exista um número
tal que:
Essa é a nossa suposição inicial. A ideia é ver se conseguimos encontrar valores de
e
que satisfaçam essa equação. Se não encontrarmos nenhum, então mostramos que a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Vamos analisar a equação
de uma forma mais prática. Sabemos que os cubos perfeitos (como
,
,
, etc.) têm algumas propriedades específicas em relação à paridade (se são pares ou ímpares).
Note que
sempre será um número par porque qualquer potência de 2 é par, e ao adicionar 1, o resultado
será ímpar.
Por outro lado, o cubo de um número natural
terá a mesma paridade que
. Ou seja, se
for par,
será par, e se
for ímpar,
será ímpar.
Então, estamos procurando
ímpar tal que
seja igual a
.
Passo 4
Vamos examinar a equação
mais de perto. Podemos rearrumar a equação para:
Sabemos que
pode ser fatorado usando a fórmula de diferença de cubos:
Então, temos:
Aqui,
é uma potência de 2, então ambos os fatores
e
também devem ser potências de 2 para que o produto deles seja uma potência de 2.
Passo 5
Agora, vamos considerar que
e
são ambas potências de 2. Vamos chamar
e
, onde
e
são números naturais e
.
Então:
Vamos tentar encontrar valores de
,
e
que satisfaçam essas equações.
Passo 6
Vamos testar valores pequenos de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Vemos que para os valores testados, não encontramos nenhum
que faça com que tanto
quanto
sejam potências de 2.
Passo 7
Vamos considerar o comportamento geral das expressões
e
. Para
,
cresce muito mais rápido do que
. Além disso, a diferença entre
e
também aumenta, tornando improvável que ambas sejam potências de 2 ao mesmo tempo.
Além disso, se
for uma potência de 2, por exemplo,
, substituindo na equação
, obtemos:
Claramente,
não será uma potência de 2, pois a soma de potências diferentes de 2 não resulta em outra potência de 2.
Passo 8
Como não encontramos nenhum valor de
que satisfaça as condições necessárias e observamos que a estrutura das expressões impede que
seja um cubo para
, podemos concluir que:
Resposta
Para todo número natural
,
nunca é um cubo. Portanto,
nunca é um número cúbico para qualquer
.
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