Mostre que nunca é um cubo, para todo .

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte problema: mostrar que nunca é um cubo para todo número natural . Aqui, estamos lidando com potências de 2 e números cubos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre como as potências funcionam e algumas propriedades básicas dos números cubos.

Passo 2

Vamos começar imaginando que existe algum número natural tal que seja exatamente um cubo de outro número natural. Ou seja, vamos supor que exista um número tal que:
Essa é a nossa suposição inicial. A ideia é ver se conseguimos encontrar valores de e que satisfaçam essa equação. Se não encontrarmos nenhum, então mostramos que a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Vamos analisar a equação de uma forma mais prática. Sabemos que os cubos perfeitos (como , , , etc.) têm algumas propriedades específicas em relação à paridade (se são pares ou ímpares).
Note que sempre será um número par porque qualquer potência de 2 é par, e ao adicionar 1, o resultado será ímpar.
Por outro lado, o cubo de um número natural terá a mesma paridade que . Ou seja, se for par, será par, e se for ímpar, será ímpar.
Então, estamos procurando ímpar tal que seja igual a .

Passo 4

Vamos examinar a equação mais de perto. Podemos rearrumar a equação para:
Sabemos que pode ser fatorado usando a fórmula de diferença de cubos:
Então, temos:
Aqui, é uma potência de 2, então ambos os fatores e também devem ser potências de 2 para que o produto deles seja uma potência de 2.

Passo 5

Agora, vamos considerar que e são ambas potências de 2. Vamos chamar e , onde e são números naturais e .
Então:
Vamos tentar encontrar valores de , e que satisfaçam essas equações.

Passo 6

Vamos testar valores pequenos de :
  • Para :
    ãéê
  • Para :
    ãéê
  • Para :
    ãéê
  • Para :
    ãéê
Vemos que para os valores testados, não encontramos nenhum que faça com que tanto quanto sejam potências de 2.

Passo 7

Vamos considerar o comportamento geral das expressões e . Para , cresce muito mais rápido do que . Além disso, a diferença entre e também aumenta, tornando improvável que ambas sejam potências de 2 ao mesmo tempo.
Além disso, se for uma potência de 2, por exemplo, , substituindo na equação , obtemos:
Claramente, não será uma potência de 2, pois a soma de potências diferentes de 2 não resulta em outra potência de 2.

Passo 8

Como não encontramos nenhum valor de que satisfaça as condições necessárias e observamos que a estrutura das expressões impede que seja um cubo para , podemos concluir que:

Resposta

Para todo número natural , nunca é um cubo. Portanto, nunca é um número cúbico para qualquer .

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