Encontre os valores de a e b para que a função seja contínua em todos os pontos de seu domínio.
f(x)=ll e^x, & se x<0 a x+b, & se 0 <= x <= 1 ln x, & se x>1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de $ a $ e $ b $ que tornam a função contínua em todo o seu domínio. A função dado é:
a
A matéria que estamos trabalhando aqui é continuidade de funções, especificamente garantindo que não haja “saltos” na função nos pontos onde ela muda de fórmula, ou seja, em $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 0 $. Isso significa que o limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = 0 $.
O limite pela esquerda ($ x \to 0^- $) é:
x = 0
O limite pela direita ($ x \to 0^+ $) é:
x
Para a continuidade, esses limites devem ser iguais:
x

Passo 3

Agora, vamos garantir a continuidade em $ x = 1 $. Novamente, o limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = 1 $.
O limite pela esquerda ($ x \to 1^- $) é:
x = 1
O limite pela direita ($ x \to 1^+ $) é:
x
Para a continuidade, esses limites devem ser iguais:
x

Passo 4

Já sabemos que $ b = 1 $ do Passo 2. Vamos substituir esse valor na equação do Passo 3:
b = 1

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em todo o seu domínio são $ a = -1 $ e $ b = 1 $.

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