Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y=sen x no ponto (pi / 6,1 / 2).

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de $ y = \sin x $ no ponto $ \left( \frac{\pi}{6}, \frac{1}{2} \right) $. Isso está relacionado ao cálculo diferencial, mais especificamente ao conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função. Vamos precisar da fórmula da derivada da função $ \sin x $ e usar isso para montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y = \sin x $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $ da função. Sabemos que:
y = sin x
Então, a derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto $ x = \frac{\pi}{6} $ para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
x = pi6
Sabemos que $ \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Então, a inclinação da reta tangente é $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente $ m = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e sabendo que a reta passa pelo ponto $ \left( \frac{\pi}{6}, \frac{1}{2} \right) $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
m = raiz32
Substituindo os valores:
( pi6, 12 )
Agora, podemos simplificar essa equação para a forma $ y = mx + b $:
y - y1 = m(x - x1)

Resposta

A equação da reta tangente é:
y = raiz32x + ( 12 - raiz3pi12 )

Exercícios relacionados