Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
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Passo 1
Beleza, então a gente tem que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de $ y = \sin x $ no ponto $ \left( \frac{\pi}{6}, \frac{1}{2} \right) $. Isso está relacionado ao cálculo diferencial, mais especificamente ao conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função. Vamos precisar da fórmula da derivada da função $ \sin x $ e usar isso para montar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y = \sin x $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $ da função. Sabemos que:
Então, a derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto $ x = \frac{\pi}{6} $ para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Sabemos que $ \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Então, a inclinação da reta tangente é $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente $ m = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e sabendo que a reta passa pelo ponto $ \left( \frac{\pi}{6}, \frac{1}{2} \right) $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Agora, podemos simplificar essa equação para a forma $ y = mx + b $:
Resposta
A equação da reta tangente é: