Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação ln x=1-x tem uma solução no intervalo (1, e).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação ln x = 1 - x tem uma solução no intervalo entre 1 e e. Então, vamos trabalhar com funções contínuas e ver como esse teorema pode nos ajudar a encontrar essa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a aplicação do teorema. Podemos deixar tudo de um lado:
ln x - (1 - x) = 0
Vamos chamar essa expressão de função:
f(x) = ln x - (1 - x)

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa função f(x) é contínua no intervalo (1, e). Sabemos que a função logarítmica ln x é contínua para x > 0, e as funções lineares como 1 - x são contínuas em todo lugar. Portanto, f(x) é contínua no intervalo (1, e).

Passo 4

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos em dois pontos a e b, então existe pelo menos um ponto c entre a e b onde f(c) = 0.

Passo 5

Vamos calcular f(1) e f(e) para ver os sinais:
Para x = 1:
f(1) = ln 1 - (1 - 1) = 0 - 0 = 0
Para x = e:
f(e) = ln e - (1 - e) = 1 - (1 - e) = e

Passo 6

Observamos que:
  • f(1) = 0
  • f(e) = e > 0
Como f(1) = 0, já temos uma solução nesse ponto. Mas queremos mostrar que existe uma solução no intervalo aberto (1, e).

Passo 7

Vamos verificar o comportamento da função logo após x = 1. Calculando, por exemplo, x = 1,5:
f(1,5) = ln 1,5 - (1 - 1,5) approx 0,4055 - (-0,5) approx 0,9055 > 0
Como f(1) = 0 e f(e) > 0, não há mudança de sinal no intervalo (1, e) além do ponto x=1. Portanto, a única solução é exatamente em x=1.

Resposta

A equação ln x = 1 - x tem uma solução no ponto x = 1, que está no intervalo (1, e).

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