Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
tem uma solução no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
tem uma solução no intervalo entre 1 e
. Então, vamos trabalhar com funções contínuas e ver como esse teorema pode nos ajudar a encontrar essa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a aplicação do teorema. Podemos deixar tudo de um lado:
Vamos chamar essa expressão de função:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa função
é contínua no intervalo
. Sabemos que a função logarítmica
é contínua para
, e as funções lineares como
são contínuas em todo lugar. Portanto,
é contínua no intervalo
.
Passo 4
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua
assume valores de sinais opostos em dois pontos
e
, então existe pelo menos um ponto
entre
e
onde
.
Passo 5
Vamos calcular
e
para ver os sinais:
Para
:
Para
:
Passo 6
Observamos que:
Como
, já temos uma solução nesse ponto. Mas queremos mostrar que existe uma solução no intervalo aberto
.
Passo 7
Vamos verificar o comportamento da função logo após
. Calculando, por exemplo,
:
Como
e
, não há mudança de sinal no intervalo
além do ponto
. Portanto, a única solução é exatamente em
.
Resposta
A equação
tem uma solução no ponto
, que está no intervalo
.