Encontre os valores de e de forma que o plano seja tangente ao parabolóide de equação no ponto cuja projeção no eixo é o ponto .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar os valores de e para que o plano seja tangente ao paraboloide no ponto cuja projeção no plano é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de planos e superfícies, além de derivadas parciais para encontrar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto de tangência. Sabemos que a projeção no plano é . Para encontrar a coordenada , substituímos e na equação do paraboloide:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação do plano tangente ao paraboloide no ponto . Para isso, precisamos das derivadas parciais da função :
No ponto , temos:
A equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, queremos que o plano seja igual ao plano tangente que encontramos, ou seja:
Vamos igualar as duas expressões de :
Organizando os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os e , os coeficientes de e devem ser iguais a zero, e o termo constante também:
ê
Aqui percebemos uma inconsistência, mas na verdade, devemos comparar os coeficientes corretamente.

Passo 5

Vamos corrigir a comparação:
Substituindo na primeira equação:
Para que essa equação seja válida apenas no ponto , os coeficientes devem ser zero:

Resposta

Os valores são e .

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Resp.: Existe.
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