Encontre os valores de
e
de forma que o plano
seja tangente ao parabolóide de equação
no ponto cuja projeção no eixo
é o ponto
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar os valores de
e
para que o plano
seja tangente ao paraboloide
no ponto cuja projeção no plano
é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de planos e superfícies, além de derivadas parciais para encontrar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto de tangência. Sabemos que a projeção no plano
é
. Para encontrar a coordenada
, substituímos
e
na equação do paraboloide:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação do plano tangente ao paraboloide no ponto
. Para isso, precisamos das derivadas parciais da função
:
No ponto
, temos:
A equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, queremos que o plano
seja igual ao plano tangente que encontramos, ou seja:
Vamos igualar as duas expressões de
:
Organizando os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os
e
, os coeficientes de
e
devem ser iguais a zero, e o termo constante também:
Aqui percebemos uma inconsistência, mas na verdade, devemos comparar os coeficientes corretamente.
Passo 5
Vamos corrigir a comparação:
Substituindo
na primeira equação:
Para que essa equação seja válida apenas no ponto
, os coeficientes devem ser zero:
Resposta
Os valores são
e
.
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Verifique se existe as derivadas parciais no ponto ( 0,0 ) em cada caso:
Resp.: Existe.
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Se a formiga começa a se mover de modo que sua posição em cada instante seja dada por
, qual a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo que a formiga sofre 3 segundos depois? Resp:(d) 0, 085 .
Seja
.
Mostre que Sugestão: Complete quadrados para mostrar que
, para todo
.
Mostre que
Mostre que a função
tem derivadas parciais contínuas em
, porém, as derivadas parciais mistas não são aí contínuas.