Mostre que a função
f(x, y) = { (x * y * (x^2 - y^2)) / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0) }
tem derivadas parciais contínuas em (0,0), porém, as derivadas parciais mistas não são aí contínuas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para mostrar que a função
f(x, y) = { (x * y * (x^2 - y^2)) / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0) }
tem derivadas parciais contínuas no ponto (0,0), mas que as derivadas parciais mistas não são contínuas lá. Para isso, vamos precisar entender de cálculo de derivadas parciais e continuidade de funções. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e a y no ponto (0,0). Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
Vamos calcular cada uma.

Passo 3

Calculando :
Substituímos y = 0 na função f(x, y):
Então,

Passo 4

Calculando :
Substituímos x = 0 na função f(x, y):
Então,

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais em (0,0), vamos verificar a continuidade delas nesse ponto. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de f para e verificar se elas se aproximam de 0 quando .
Primeiro, calculamos e para usando regras de derivação.

Passo 6

Calculando para :
Vamos derivar f(x, y) em relação a x:
Usando a regra do quociente:
Simplificando essa expressão, percebemos que, ao aproximar , .

Passo 7

De maneira similar, calculamos para :
Derivando em relação a y:
Aplicando a regra do quociente e simplificando, concluímos que quando .

Passo 8

Como as derivadas parciais e tendem a 0 quando , e sabemos que , concluímos que as derivadas parciais são contínuas em (0,0).

Passo 9

Agora, vamos analisar as derivadas parciais mistas. Precisamos calcular, por exemplo, e e verificar se elas são iguais e contínuas.
Usamos a definição:

Passo 10

Após calcular as derivadas mistas, observamos que elas não são iguais quando aproximamos por diferentes caminhos. Isso indica que as derivadas parciais mistas não são contínuas em (0,0).

Resposta

Portanto, a função f(x, y) possui derivadas parciais contínuas em (0,0), mas as derivadas parciais mistas não são contínuas nesse ponto.

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